【步步高】(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 第二篇 第2讲 填空题的解法技巧课件

第2讲填空题的解法技巧第二篇掌握技巧，快速解答客观题内容索引题型概述方法一直接法方法二特例法方法三数形结合法方法四构造法方法五归纳推理法方法六正反互推法填空题突破练题型概述填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力．由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”．方法一直接法直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法．例1(1)(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．解析由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139,151]上的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．答案4(2)(2015·北京)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin2AsinC＝________.解析由余弦定理：cosA＝b2＋c2－a22bc＝25＋36－162×5×6＝34，∴sinA＝74，cosC＝a2＋b2－c22ab＝16＋25－362×4×5＝18，∴sinC＝378，∴sin2AsinC＝2×34×74378＝1.答案1思维升华利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．跟踪演练1(1)已知椭圆x28＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是________．解析由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝42，∴|PF1|·|PF2|≤(|PF1|＋|PF2|2)2＝8，(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)∴|PF1|·|PF2|的最大值是8.8(2)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a2)的两根tanα，tanβ，且α，β∈(－π2，π2)，则α＋β＝________.解析由已知可得tanα＋tanβ＝－3a，tanαtanβ＝3a＋1，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－3a1－3a＋1＝1，因为α，β∈(－π2，π2)，所以α＋β＝－34π或π4.所以－πα＋βπ，答案－34π或π4方法二特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例2(1)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP→·AC→＝_____.解析把平行四边形ABCD看成正方形，则点P为对角线的交点，AC＝6，则AP→·AC→＝18.18(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.解析此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化．根据函数特点取f(x)＝sinπ4x，再由图象可得(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝(－6×2)＋(2×2)＝－8.－8思维升华求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．跟踪演练2(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.解析∵f(1)＝f(－1)，∴ln(1＋a＋1)＋ln(－1＋a＋1)＝0，∴lna＝0，∴a＝1.经验证a＝1符合题意．1方法三数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．例3(1)已知点P(x，y)的坐标x，y满足x－2y＋1≥0，|x|－y－1≤0，则x2＋y2－6x＋9的取值范围是_______________．解析画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，∴d2min＝(|3－0－1|12＋－12)2＝(2)2＝2.由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，最大值为点Q到点A的距离的平方，∴d2max＝16.∴取值范围是[2,16]．答案[2,16](2)已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(2－x)≤f(1)的解集为__________．解析函数y＝f(x)的图象如图，由不等式f(2－x)≤f(1)知，2－x≤2＋1，[－1，＋∞)从而得到不等式f(2－x)≤f(1)的解集为[－1，＋∞)．思维升华数形结合法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数．数形结合法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系．跟踪演练3(1)若方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是____________．解析设f(x)＝x3－3x，令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，当x－1时，函数f(x)单调递增，当－1x1时，函数f(x)单调递减，当x1时，函数f(x)单调递增，f(－1)＝2，f(1)＝－2，要有三个不等实根，则直线y＝k与y＝f(x)的图象有三个交点，∴－2k2.答案(－2,2)(2)设函数f(x)＝x2＋bx＋c，x≤0，2，x0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则函数y＝g(x)＝f(x)－x的零点个数为________．解析由f(－4)＝f(0)，得16－4b＋c＝c.由f(－2)＝－2，得4－2b＋c＝－2.联立两方程解得b＝4，c＝2.于是，f(x)＝x2＋4x＋2，x≤0，2，x0.在同一直角坐标系内，作出函数y＝f(x)与函数y＝x的图象，知它们有3个交点，即函数g(x)有3个零点．答案3方法四构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．例4(1)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________．解析如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝22＋22＋22＝2R，所以R＝62，故球O的体积V＝4πR33＝6π.答案6π(2)e416，e525，e636(其中e为自然对数的底数)的大小关系是________．解析由于e416＝e442，e525＝e552，e636＝e662，故可构造函数f(x)＝exx2，于是f(4)＝e416，f(5)＝e525，f(6)＝e636.而f′(x)＝(exx2)′＝ex·x2－ex·2xx4＝exx2－2xx4，因此有f(4)f(5)f(6)，即e416e525e636.令f′(x)0得x0或x2，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，答案e416e525e636思维升华构造法解题的关键是由条件和结论的特征构造数学模型．在立体几何中，补形构造是常用的解题技巧，构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用．跟踪演练4已知三个互不重合的平面α、β、γ，α∩β＝m，n⊂γ，且直线m、n不重合，由下列三个条件：①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m⊂γ，n∥β.能推得m∥n的条件是________．解析构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD′A′，平面β为平面ABCD，则直线m为直线AD.因为m∥γ，故可取平面γ为平面A′B′C′D′，因为n⊂γ且n∥β，故可取直线n为直线A′B′.则直线AD与直线A′B′为异面直线，故m与n不平行．对于①：α、β取②中平面，取平面γ为平面BCC′B′，可取直线n为直线BC，故可推得m∥n；对于③：α，β取②中平面，取γ为平面AB′C′D，取直线n为直线B′C′，故可推得结论．答案①③方法五归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．例5(1)(2014·陕西)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是__________．解析观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.F＋V－E＝2(2)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．解析观察题图①，共有8根火柴，以后依次增加6根火柴，即构成首项为8，公差为6的等差数列，所以，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n＋2.6n＋2思维升华归纳推理法主要用于与自然数有关的结论，这类问题是近几年高考的热点，解题的关键在于找准归纳对象及其规律，如数列中项与项数之间的对应关系．跟踪演练5观察下列各个等式：13＝1；23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19；…若某数m3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2016”这个数，则m＝________.解析某数m3按上述规律展开后，等式右边为m个连续奇数的和，由于前4行的最后一个数分别为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2,19＝42＋3，所以m3的最后一个数为m2＋(m－1)，因为当m＝44时，m2＋(m－1)＝1979，当m＝45时，m2＋(m－1)＝2069，所以要使等式右边含有“2016”这个数，则m＝45.答案45方法六正反互推法多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论．例6已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：①f(2013)＋f(－2014)的值为0；②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(－1,1)．其中正确的命题序号有________．解析根据题意，可在同一坐标系中画出直线y＝x和函数f(x)的图象如下：根据图象可知①f(2013)＋f(－2014)＝0正确，②函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f(x)的值域是(－1,1)，正确．答案①③④思维升华正反互