2016届新课标高考数学文科大一轮复习讲义-第1章 集合与常用逻辑用语

1一、重视教材习题的母题功能你知道高考题是怎样命制的吗？看完本讲内容，洞晓了高考命题的5大常用手段，你就明白了教材经典题目的重要性．你还会陷入“高考高于天，教材放一边”的备考误区吗？编写本讲的目的，我们旨在提醒您：一轮复习要“抓纲靠本”，“纲”就是考纲，“本”就是课本．要重拾起被遗忘忽视的课本，重温基础知识，重做典型题目，重视教材“母题”的引领作用，发挥教材母题做一当十的功效．在此，仅以2014年新课标全国卷两套试题为例进行说明，以佐证教材习题的重要性．教材这样练《人教A版·必修4》P119B组第1题第(4)小题．已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，AB＝c，则①EF＝12c－12b；②BE＝a＋12b；③CF＝－12a＋12b；④AD＋BE＋CF＝0中正确的等式的个数为()A．1B．2C．3D．4高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝()A．ADB.12ADC．BCD.12BC教材这样练《人教A版·选修2－1》P69例4.斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()A.303B．6C．12D．732教材这样练《人教B版·必修5》P30练习A.写出下面数列{an}的前5项：1．a1＝2，an＝12an－1(n＝2,3,4，…)；2．a1＝3，an＝an－1＋2(n＝2,3,4，…)；3．a1＝1，an＝an－1＋1an－1(n＝2,3,4，…)．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝11－an，a8＝2，则a1＝________.教材这样练《人教A版·必修5》P14例5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到1m)．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.教材这样练《人教A版·必修1》P39B组第3题．已知函数f(x)是偶函数，而且在(0，＋∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)0，则x的取值范围是________．3总之，教材中的例题、习题是经过精心挑选而设计的，它蕴藏着丰富的思想方法和研究资源．不少试题所涉及的思想方法，都源于教材．高考数学一轮复习中，要做到对教材中的经典题目能够熟练地求解，掌握它的通性通法、答题规范、思路分析及知识内涵．研读教材、汲取营养，充分发挥例题、习题潜在的功能，发挥教材“母本”的作用．为减少考生翻阅教材、查找典型题目之苦，充分发挥我们编者占有广泛教学资源的优势，我们在人教A版、人教B版、北师大版等教材中优中选优地筛选了一些经典题目，做为课前自检基础知识使用，就是充分发挥教材母题的引领带动作用．二、重视经典题目的发散思维本讲内容是上一讲内容的顺承和拓展，其主旨还是让学生在做题的过程中学会多思考和多领悟．如果说上一讲是教给学生“做什么”的问题，那么这一讲是教给学生“怎么做”的问题．在平时的复习备考中，做海量试题必不可少，但绝非上策．应当充分发挥典型试题的带动作用和举一反三的功能，注意培养多题一解、一题多解和一题多变思维能力的养成．多题一解有利于培养学生的求同思维，一题多解有利于培养学生的求异思维，一题多变有利于培养学生思维的灵活性与深刻性．多题一解和一题多解主要靠学生在平时做题的过程中，发挥主观能动性，多思考，多总结，而一题多解则需要教师多找一些典型题目多拓展，多发散，帮学生举一反三、悟通练透．本书在“一题多变”上主要做了以下两方面的尝试：(一)经典“题根”的发散茫茫题海，寻根是岸．木有本，水有源，题有根．在平时的训练中，可将一些经典的题目做为“题根”，在题目发散中，要学会演变题目条件、背景，变换设问，在不断变换的过程中，将此类问题厘清弄透，从一个个小问题中获取大知识，让其“枝繁叶茂”、“生机盎然”，从而彻底打通各知识点间的关节．4示例：利用基本不等式求最值(二)考查角度的发散高考中的一些热门考点，虽知年年必考，但学生往往却在这类考点上失分，究其原因，主要是此类考点考查灵活、角度多变．为将这类考点练深练透，有必要对这类考点进行多维探究．备考不留死角，高考不留遗憾！若本题条件变为：已知a0，b0，a＋2b＝3，则2a＋1b的最小值为________.本题的条件变为：已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________.本题的条件和结论互换，即：已知a＞0，b＞0，1a＋1b＝4，则a＋b的最小值为________.已知a＞0，b＞0，a＋b＝1,则1a＋1b的最小值为________．[解析]∵a＞0,b＞0,a＋b＝1,∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4,即1a＋1b的最小值为4,当且仅当a＝b＝12时等号成立.[答案]4已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得am·an＝22a1，则1m＋4n的最小值为________．本题的条件不变，则1＋1a1＋1b的最小值为________.利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.5角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f(x)＝log2x＋11－x，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则()A．f(x1)0，f(x2)0B．f(x1)0，f(x2)0C．f(x1)0，f(x2)0D．f(x1)0，f(x2)0⇓示例：函数单调性的应用高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.角度一、角度二是对函数单调性直接应用的考查角度三：解函数不等式3．f(x)是定义在(0,＋∞)上的单调增函数,满足f(xy)＝f(x)＋f(y),f(3)＝1,当f(x)＋f(x－8)≤2时,x的取值范围是()A．(8，＋∞)B．(8,9]C．[8,9]D．(0,8)⇑角度一：求函数的值域或最值1．函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x＜1的最大值为________.⇓利用函数单调性转变为不等式，体现知识间的交汇角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．已知函数f(x)＝a－2x，x≥2，12x－1，x2满足对任意的实数x1≠x2,都有fx1－fx2x1－x20成立,则实数a的取值范围为()A．(－∞，2)B.－∞，138C．(－∞，2]D.138，2由单调性求参数范围体现函数单调性的深化⇐[类题通法]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化6为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．7第一章集合与常用逻辑用语第一节集__合对应学生用书P5基础盘查一元素与集合(一)循纲忆知1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(二)小题查验1．判断正误(1)一个集合中可以找到两个相同的元素()(2)集合{x|x3}与集合{t|t3}表示的是同一集合()(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A()(4)零不属于自然数集()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．(人教A版教材练习)选择适当的方法表示下列集合：(1)由小于8的所有素数组成的集合；(2)不等式4x－53的解集．答案：(1){2,3,5,7}(2){x|x2}基础盘查二集合间的基本关系(一)循纲忆知1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2．在具体情境中，了解全集与空集的含义．(二)小题查验1．判断正误8(1)若A＝B，则A⊆B()(2)若AB，则A⊆B且A≠B()(3)N*NZ()(4)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．(人教A版教材例题改编)集合{a，b}的所有子集为________________．答案：{a}，{b}，{a，b}，∅基础盘查三集合的基本运算(一)循纲忆知1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．3．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．(二)小题查验1．判断正误(1)若A∩B＝A∩C，则B＝C()(2)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素()(3)并集定义中的“或”能改为“和”()(4)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．(人教A版教材习题改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁UB)＝________.答案：{2,4}3．已知集合A＝{x|3≤x7}，B＝{x|2x10}，则∁R(A∪B)＝________________.答案：{x|x≤2或x≥10}对应学生用书P6考点一集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：9元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．2．常见数集及其表示符号自然数集用N表示，正整数集用N*或N＋表示，整数集用Z表示，有理数集用Q表示，实数集用R表示．[提醒]解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[题组练透]1．(2015·洛阳统考)已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为()A．3B．6C．8D．9解析：选D集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．2．现有三个实数的集合，既可以表示为a，ba，1，也可以表示为{a2