2018版高考数学一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积理

1第五章平面向量5.3平面向量的数量积理1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4)cosθ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.2(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.【知识拓展】1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b0且a，b不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(√)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(×)(4)(a·b)c＝a(b·c)．(×)(5)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．(×)1．(教材改编)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于()A．－12B．6C．－6D．12答案D解析∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.2．(2017·南宁质检)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|等于()A.6B.5C.3D.2答案C3解析由题意可得a·b＝|b|cos30°＝32|b|,4a2－4a·b＋b2＝1，即4－23|b|＋b2＝1，由此求得|b|＝3，故选C.3．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD→＝(2,1)，则AD→·AC→等于()A．5B．4C．3D．2答案A解析∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC→＝AB→＋AD→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)．∴AD→·AC→＝2×3＋(－1)×1＝5.4．(2016·北京)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________．答案π6解析设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝1×3＋1×312＋32·12＋32＝234＝32，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.5．(2016·厦门模拟)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________.答案10解析∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，∴x＝2，∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5，∴|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋5＝10.题型一平面向量数量积的运算例1(1)(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→·BC→的值为()A．－58B.184C.14D.118(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．答案(1)B(2)11解析(1)如图，由条件可知BC→＝AC→－AB→，AF→＝AD→＋DF→＝12AB→＋32DE→＝12AB→＋34AC→，所以BC→·AF→＝(AC→－AB→)·(12AB→＋34AC→)＝34AC→2－14AB→·AC→－12AB→2.因为△ABC是边长为1的等边三角形，所以|AC→|＝|AB→|＝1，∠BAC＝60°，所以BC→·AF→＝34－18－12＝18.(2)方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)，所以DE→·CB→＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC→＝(1,0)，所以DE→·DC→＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故DE→·DC→的最大值为1.方法二由图知，5无论E点在哪个位置，DE→在CB→方向上的投影都是CB＝1，∴DE→·CB→＝|CB→|·1＝1，当E运动到B点时，DE→在DC→方向上的投影最大，即为DC＝1，∴(DE→·DC→)max＝|DC→|·1＝1.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解．(1)(2016·全国丙卷)已知向量BA→＝12，32，BC→＝32，12，则∠ABC等于()A．30°B．45°C．60°D．120°(2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且BE→＝23BC→，DF→＝16DC→，则AE→·AF→的值为________．答案(1)A(2)2918解析(1)∵|BA→|＝1，|BC→|＝1，cos∠ABC＝BA→·BC→|BA→|·|BC→|＝32，又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.(2)在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴CD＝1，AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋23BC→，AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋16DC→，∴AE→·AF→＝AB→＋23BC→·AD→＋16DC→＝AB→·AD→＋AB→·16DC→＋23BC→·AD→＋23BC→·16DC→＝2×1×cos60°＋2×16＋23×12×cos60°＋23×16×12×cos120°＝2918.题型二平面向量数量积的应用6命题点1求向量的模例2(1)(2016·西安模拟)已知平面向量a，b的夹角为π6，且|a|＝3，|b|＝2，在△ABC中，AB→＝2a＋2b，AC→＝2a－6b，D为BC的中点，则|AD→|＝________.(2)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点D满足|CD→|＝1，则|OA→＋OB→＋OD→|的最大值是________．答案(1)2(2)7＋1解析(1)因为AD→＝12(AB→＋AC→)＝12(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|AD→|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×(3－2×2×3×cosπ6＋4)＝4，所以|AD→|＝2.(2)设D(x，y)，由CD→＝(x－3，y)及|CD→|＝1，知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．又OA→＋OB→＋OD→＝(－1,0)＋(0，3)＋(x，y)＝(x－1，y＋3)，∴|OA→＋OB→＋OD→|＝x－2＋y＋32.问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－3)间距离的最大值．∵圆心C(3,0)与点P(1，－3)之间的距离为－2＋＋32＝7，故x－2＋y＋32的最大值为7＋1.即|OA→＋OB→＋OD→|的最大值是7＋1.命题点2求向量的夹角例3(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝13，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________________．7答案(1)223(2)－∞，－92∪－92，3解析(1)因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×12×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，因为b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×12×cosα＋1＝8，所以|b|＝22，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e21－9e1·e2＋2e22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cosβ＝a·b|a||b|＝83×22＝223.(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，∴4k－6－6＜0，∴k＜3.又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－92.当k＝－92时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b与c反向．综上，k的取值范围为－∞，－92∪－92，3.思维升华平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cosθ＝a·b|a||b|，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a.②|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2.③若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(1)(2015·湖北)已知向量OA→⊥AB→，|OA→|＝3，则OA→·OB→＝________.(2)在△ABC中，若A＝120°，AB→·AC→＝－1，则|BC→|的最小值是()A.2B．28C.6D．6答案(1)9(2)C解析(1)因为OA→⊥AB→，所以OA→·AB→＝0.所以OA→·OB→＝OA→·(OA→＋AB→)＝OA→2＋OA→·AB→＝|OA→|2＋0＝32＝9.(2)∵AB→·AC→＝－1，∴|AB→|·|AC→|·cos120°＝－1，即|AB→|·|AC→|＝2，∴|BC→|2＝|AC→－AB→|2＝AC→2－2AB→·AC→＋AB→2≥2|AB→|·|AC→|－2AB→·AC→＝6，∴|BC→|min＝6.题型三平面向量与三角函数例4(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，x∈0，π2.(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为π3，求x的值．解(1)因为m＝22，－22，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即22sinx－22cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cosπ3＝12，即22sinx－22cosx＝12，所以sinx－π4＝12，因为0xπ2，所以－π4x－π4π4，所以x－π4＝π6，即x＝5π12.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路9(1)题目