高中数学必修一第三章函数的应用知识点与常考题(附解析)

第1页（共43页）必修一第三章函数的应用知识点与常考题(附解析)知识点：第三章函数的应用3.1函数与方程3.1方程的根与函数的零点【知识要点】1、函数零点的概念对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数的零点.（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标）2、函数零点的意义方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.3、零点定理函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f(c)=0,此时c也是方程f(x)=0的根.4、函数零点的求法求函数y=f(x)的零点：（1）（代数法）求方程f(x)=0的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．5、二次函数的零点二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).（1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．3.1.2用二分法求方程的近似解【知识要点】1、概念对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2、用二分法求方程近似解的步骤⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0，给定精确度ε；⑵求区间(a,b)的中点c;⑶计算f(c),①若f(c)=0,则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)0,则令b=c（此时零点x0∈(a,c)）③若f(c)f(b)0,则令a=c（此时零点x0∈(c,b)）(4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|ε,则得到零点近似值为a(或b);否则重复⑵~⑷3.2几类不同增长的函数模型【知识要点】1、评价模型给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况2、几个增长函数模型一次函数：y=ax+b(a0)指数函数：y=ax(a1)指数型函数：y=kax(k0,a1)幂函数：y=xn（n∊N*)对数函数：y=logax(a1)二次函数：y=ax2+bx+c(a0)第2页（共43页）增长快慢：V(ax)V(xn)V(logax)解不等式(1)log2x2xx2(2)log2xx22x3、分段函数的应用注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间.4、二次函数模型y=ax2+bx+c(a≠0)先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值.5、一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布两个根都在（m,n)内两个有且仅有一个在（m,n)内x1∈(m,n)x2∈(p,q)f(m)f(n)0两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K，一个根大于Kf(k)0【重点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的yxnmmnmnpqyxkk02()0()0bmnafmfn()0()0()0()0fmfnfpfq02()0bkafk02()0bkafkk第3页（共43页）增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义【难点】怎样选择数学模型分析解决实际问题．常考题：一．选择题（共24小题）1．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0B．1C．2D．32．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2aB．2a﹣1C．1﹣2﹣aD．2﹣a﹣13．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）4．已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．2B．3C．4D．55．已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）6．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（）A．（，1）B．（1，e﹣1）C．（e﹣1，2）D．（2，e）7．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）8．若（a≠1），在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）第4页（共43页）A．﹣B．C．D．110．下列函数中，在（﹣1，1）内有零点且单调递增的是（）A．B．y=2x﹣1C．D．y=﹣x311．函数f（x）=2x﹣3零点所在的一个区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）12．设函，则函数g（x）=f（x）﹣x的零点的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个13．若函数f（x）=x2+a|x|+2，x∈R在区间[3，+∞）和[﹣2，﹣1]上均为增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，﹣3]B．[﹣6，﹣4]C．[﹣3，﹣2]D．[﹣4，﹣3]14．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=ax+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）15．函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（l，2）C．（2，3）D．（3，4）16．若函数f（x）=x2﹣2mx+m2﹣1在区间[0，1]上恰有一个零点，则m的取值范围为（）A．[﹣1，0]∪[1，2]B．[﹣2，﹣1]∪[0，1]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]17．函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（）A．1B．2C．3D．418．f（x）=ex﹣x﹣2在下列那个区间必有零点（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）19．设函数，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．B．C．D．20．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）21．已知函数g（x）=，若方程g（x）﹣mx﹣m=0有且仅第5页（共43页）有两个不等的实根，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪[0，2]B．（﹣，﹣2]∪[0，2]C．（﹣，﹣2]∪[0，2）D．（﹣，﹣2]∪[0，2）22．已知f（x）=（x∈R），若关于x的方程f2（x）﹣tf（x）+t﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（）A．（，2）∪（2，e）B．（，1）C．（1，+1）D．（，e）23．下列函数中，在（﹣1，1）内有零点且单调递增的是（）A．y=log2xB．y=2x﹣1C．y=x2﹣2D．y=﹣x324．若是R上的增函数，那么a的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）25．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．26．已知函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是．27．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．28．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．29．已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．30．函数f（x）=的零点个数是．31．已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．三．解答题（共19小题）第6页（共43页）32．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．33．已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，求a的取值范围．34．设f（x）=|x﹣a|﹣+a，x∈[1，6]，a∈（1，6）．（Ⅰ）若a∈（1，2]，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）的最小值．35．已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．36．已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=x﹣lnx﹣2，g（x）=xlnx+x．（1）求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（2）若k∈Z，且g（x）＞k（x﹣1）对任意的x＞1恒成立，求k的最大值．37．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的范围；（Ⅲ）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）=0有三个不同的实数解，求实数k的范围．38．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．39．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：第7页（共43页）记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？40．设a＞0，函数f（x）=x2+a|lnx﹣1|．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥a恒成立，实数a的取值范围．41．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y