2012届高考数学(理科)复习课件：专题十教材回扣第5讲不等式、推理与证明(人教A版)

五、不等式、推理与证明高频考点整合abab||||ab||||ab基础回扣训练1．不等式x2－4＞3|x|的解集是()A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析若x＞0，则x2－3x－4＞0，解得x＞4；若x≤0，则x2＋3x－4＞0，解得x＜－4.A2．设命题甲：ax2＋2ax＋1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1.则命题甲是命题乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析若a＝0，则不等式ax2＋2ax＋1＞0恒成立，即解集是R；若a≠0，则不等式ax2＋2ax＋1＞0的解集是R时，a＞0且4a2－4a＜0，即0＜a＜1，故不等式ax2＋2ax＋1＞0的解集是R时，0≤a＜1.所以甲是乙的必要不充分条件．B3．已知f(x)＝3x＋1(x∈R)，若|f(x)－4|＜a的充分条件是|x－1|＜b(a，b均为正数)，则a，b之间的关系是()A．a≤b3B．b≤a3C．b＞a3D．a＞b3解析由|x－1|＜b，得1－b＜x＜1＋b，由|f(x)－4|＜a，得1－a3＜x＜1＋a3.若|f(x)－4|＜a的充分条件是|x－1|＜b，则有1－a3≤1－b，1＋a3≥1＋b，∴b≤a3，故选B.B4．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是()A．a2＜b2B．ab2＜a2bC.1ab2＜1a2bD.ba＜ab解析因为1ab2－1a2b＝a－b(ab)2＜0，所以1ab2＜1a2b，经验证选项A、B、D均不成立，故选C.C5．函数y＝ax＋3－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在直线mx＋ny＋1＝0上(m＞0，n＞0)，则1m＋3n的最小值为()A．12B．10C．8D．14解析由题意可知，函数y＝ax＋3－2的图象恒过定点A(－3，－1)，所以直线方程满足3m＋n＝1，所以1m＋3n＝(1m＋3n)(3m＋n)＝3＋3＋nm＋9mn≥6＋29＝12.故选A.A6．若x，y满足约束条件x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a的取值范围是()A．[－4,2)B．(－4,2)C．(4，－2)D．[4，－2)解析x，y所满足的可行域为如图所示的△ABC及其内部，当a＝0时，显然成立；当a＞0时，直线ax＋2y－z＝0的斜率k＝－a2＞kAC＝－1满足题意，∴a＜2；当a＜0时，k＝－a2＜kAB＝2满足题意，∴a＞－4，综上所述，得－4＜a＜2，选B.B7．已知f(x)＝－3－(x－a)(x－b)，并且m，n是方程f(x)＝0的两个根且m＜n，则实数a、b、m、n的大小关系可能正确的是()A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜b＜nC．a＜m＜n＜bD．m＜a＜n＜b解析方法一因为m、n是方程f(x)＝0的两个根，所以f(m)＝0，f(n)＝0，即－3－(m－a)(m－b)＝0，－3－(n－a)(n－b)＝0，∴(m－a)(m－b)＝－3＜0，(n－a)(n－b)＝－3＜0，∴m、n的值介于a、b之间，故选C.方法二m、n是函数f(x)＝0的两根，即(x－a)(x－b)＝－3，可看作函数y＝(x－a)(x－b)与y＝－3的两个交点的横坐标；而a、b是(x－a)(x－b)＝0的两根，如图，故m、n的值介于a、b之间，选C.答案C8．已知正数x，y满足x2＋y2＝1，则1x＋1y的最小值为________．解析由x2＋y2≥2xy，得xy≤12，故1x＋1y≥21xy≥22，两个不等式中等号成立都是x＝y＝22.229．若不等式|x＋1|－|x－2|＞a在x∈R上有解，则a的取值范围是________．解析由|x＋1|－|x－2|＝－3，x＜－1，2x－1，－1≤x≤2，3x＞2，所以|x＋1|－|x－2|的取值范围是[－3,3]，要使|x＋1|－|x－2|＞a在x∈R上有解，则只需a＜3即可，故填(－∞，3)．(－∞，3)10．若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是___________．解析设f(x)＝|x|，g(x)＝ax，由图可知|a|≤1，∴－1≤a≤1.－1≤a≤111．观察下列等式：13＝1213＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102……猜想可以得到的规律为____________________________13＋23＋33＋…＋n3＝14n2(n＋1)2.12．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则顶部面积S＝xy，依题设，40x＋2×45y＋20xy＝3200，由基本不等式得3200≥240x·90y＋20xy＝120xy＋20xy＝120S＋20S，所以S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，故S≤10，从而S≤100.所以S的最大允许值是100平方米．(2)由(1)知，S取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，求得x＝15，即铁栅的长是15米．名师警示易错点1不等式性质应用不当致误在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要准确，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数式、两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意其能够这样做的条件，如果忽视了不等式性质成立的前提条件就会出现错误．易错点2忽视基本不等式应用条件致误利用基本不等式a＋b≥2ab以及变式ab≤(a＋b2)2等求函数的最值时，务必注意a，b∈R＋(或a，b非负)，积ab或a＋b其中之一应是定值，特别要注意等号成立的条件．是形如y＝ax＋bx(a，b＞0)的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ax，bx的符号，必要时要进行分类讨论，另外要注意自变量x的取值范围，在此范围内等号能否取到．易错点3解含参数的不等式时分类讨论不当致误解形如ax2＋bx＋c＞0的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类讨论．当a＝0时，这个不等式是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论；当a≠0且Δ＞0时，不等式可化为a(x－x1)(x－x2)＞0，其中x1，x2(x1＜x2)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，如果a＞0，则不等式的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，如果a＜0，则不等式的解集是(x1，x2)，这是解决x2的系数符号不确定时的基本思路．如果不等式可通过分解因式化成两个一次因式的乘积，这类不等式首先要考虑二次项的系数，在确定了二次项系数的符号后，根据不等式的性质将其化为(x－m)(x－n)＞0(或＜0)，这时就要根据m，n的大小进行分类讨论，以确定不等式的解集．对含有参数的不等式在分类解决后，要对各个部分的结论进行整合，一般是按照参数从小到大的顺序进行．易错点4不等式恒成立问题处理不当致误解决不等式恒成立问题的常规求法是：借助相应函数的单调性求解，其中的主要技巧有数形结合法，变量分离法，主元法，通过最值产生结论．应注意恒成立与存在性问题的区别，如对∀x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立问题，但对∃x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，则为存在性问题，即f(x)min≤g(x)max，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系．易错点5线性规划问题寻找整点最优解方法不当致误解决线性规划实际问题，首先要确定影响整个问题的两个主要变化因素，把这两个变化因素分别用两个变量x，y表示，然后根据题目的具体要求把一些限制条件用关于x，y的不等式表示出来，这样就得到了问题的可行域，再用x，y表示出所要求解的目标函数，最后求解这个线性规划问题即可．但是很多线性规划实际问题往往是解决整点最优解问题，这就要根据目标函数的结构特点进行分析，如目标函数是z＝x－2y，要是找最小值，那就得使x尽可能小、y尽可能大；要是找最大值，那就得使x尽可能大、y尽可能小．要学会这种定性分析法，再结合图形进行求解．易错点6平面区域不明致误一条直线Ax＋By＋C＝0把平面分为两个半平面，在每个半平面内的点(x，y)使Ax＋By+C值的符号一致，判断Ax＋By＋C的符号可以采用特殊点等．在解决平面区域问题时要结合直线的各种情况进行分析，不要凭直觉进行解答，如本题“若不等式组y≥0y≤2xy≤k(x－1)－1表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是__________”看似简单，实际上在考试中真正做对并不容易，两条定直线构成一个三角形区域，但对于那条动直线，当斜率为正和为负时，是很容易弄错的．返回