2015高考第一轮复习三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质1.周期函数和最小正周期(1)周期函数：对于函数f(x)的定义域中的每一个值x，都存在一个_________T，使得____________,则称f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期.(2)最小正周期：周期函数f(x)的所有周期中，最小的一个_____.非零常数f(x+T)=f(x)正数2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域_________________________________值域________________RR{x|x∈R且x≠+kπ,k∈Z}[-1,1][-1,1]R2函数y=sinxy=cosxy=tanx单调性递增区间是______________(k∈Z),递减区间是_______________(k∈Z)递增区间是_______________(k∈Z),递减区间是_______________(k∈Z)递增区间是_____________(k∈Z)最值x=____________时,ymax=1;x=____________时,ymin=-1x=___________时,ymax=1;x=_____________时,ymin=-1无最大值和最小值[2k,2k]223[2k,2k]22[2kπ-π,2kπ][2kπ,2kπ+π](k,2k)22k(kZ)22k(kZ)22kπ(k∈Z)π+2kπ(k∈Z)函数y=sinxy=cosxy=tanx奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心_________________________________________对称轴_________________________无对称轴最小正周期2π2ππ(kπ,0),k∈Zk∈Z(k,0),2k(,0),kZ2xk,kZ2x=kπ,k∈Z判断下面的结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)常数函数f(x)=a是周期函数，它没有最小正周期.()(2)y=sinx在上是增函数.()(3)y=cosx在第一、二象限上是减函数.()(4)y=tanx在整个定义域上是增函数.()(5)函数y=sinxcosx是R上的奇函数.()(6)y=tan2x的最小正周期为π.()x0,2［］【解析】(1)正确.由周期函数的定义，对任意非零实数b,都有f(x+b)=a,故任意非零实数都是f(x)的周期，故没有最小正周期.(2)正确.由y=sinx在上递增，知y=sinx在上是增函数.(3)错误.y=cosx在(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)上递减，但不能说在第一、二象限内递减.x,22［］0,2［］(4)错误.y=tanx在上递增，但在整个定义域上并不单调.(5)正确.f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-f(x).∴由奇函数定义可知y=f(x)=sinxcosx是R上的奇函数.(6)错误.由知y=tan2x的最小正周期为答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√(6)×(k,k)(kZ)22T,2.21.下列函数中，在上是增函数的是()(A)y=sinx(B)y=cosx(C)y=sin2x(D)y=cos2x【解析】选D.由得2x∈［π,2π］,又由y=cosx在［2kπ-π,2kπ］(k∈Z)上是增函数，故y=cos2x在上是增函数.,2［］x,2［］，,2［］2.函数的图象的一条对称轴方程是()(A)(B)(C)(D)x=π【解析】选B.方法一：由得,k=0时，故选B.方法二：排除法.在函数的对称轴上，函数取最大或最小值.而当时，此时函数取得最大值，故是函数的一条对称轴.ycos(2x)2x2x4x82xk,kZ2kx,kZ.24x,4x42x2()0,242x43.函数的递减区间是______.【解析】由得故函数的单调递减区间是答案：ysin(x)332kx2k,kZ,23272kx2k,kZ.6672k,2kkZ.66［］72k,2k(kZ)66［］4.函数的定义域是______.【解析】由题意知即即∴答案：fxtan(x)4tan(x)04，tan(x)0,4kxk,kZ,24kxk,kZ.44{x|kxk,kZ}44考向1三角函数的定义域和值域【典例1】(1)(2013·长春模拟)函数的定义域为()(A)(B)(C)(D)R1ycosx2,33［］k,k,kZ33［］2k,2k,kZ33［］(2)已知函数y=sinx的定义域为［a,b］,值域为则b-a的值不可能是()(A)(B)(C)π(D)(3)当时，函数y=3-sinx-2cos2x的最小值是______，最大值是______.【思路点拨】(1)结合单位圆或余弦函数的图象求解.(2)作出函数图象数形结合求解.(3)利用同角三角函数关系式转化为关于sinx的二次函数求解.11,2［］，323437x[,]66【规范解答】(1)选C.由题意可得即如图可知.角的终边落在与之间的阴影部分(包括边界).故故选C.1cosx0,21cosx,2332kx2k,kZ,33(2)选A.画出函数y＝sinx的草图分析，当定义域为时，当定义域为或时，所以b－a的取值范围为513,66［］4ba,353,62［］313,26［］2ba,324[].33，(3)因为所以y=3-sinx-2cos2x=2sin2x-sinx+1所以当时，当sinx=1或时，ymax=2.答案：27x[,],661sinx1,22172(sinx),481sinx4min7y8；1278【互动探究】本例题(3)中若将cosx用sinx代替，sinx用cosx代替，又将如何求解？【解析】由所以y=3-cosx-2sin2x=2cos2x-cosx+1∴当时，当cosx=-1时，ymax=4.7x,,66［］31cosx.22172(cosx),481cosx4min7y.8【规律方法】1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2.三角函数值域的不同求法(1)利用sinx和cosx的值域直接求.(2)把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域.(3)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域.(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.【加固训练】(1)函数的定义域为______.(2)求函数y=sinx-cosx+sinxcosx,x∈[0,π]的最大值和最小值.【解析】(1)由2sinx-1≥0得又sinx≤1，∴∴答案：y2sinx11sinx,21sinx12，52kx2kkZ.6652k2k(kZ)66［，］(2)设sinx-cosx=t,∵x∈［0,π］,∴得t∈当t=1时，ymax=1；当t=-1时，ymin=-1.t2sin(x),432x,sin(x)144424，[1,2],22221t1t11sinxcosx,yttt22221t11,2考向2三角函数的单调性【典例2】求下列函数的单调区间.(1)(2)y=|tanx|.(3)【思路点拨】(1)利用诱导公式将x的系数化成正值，再利用正弦函数的单调区间求解.(2)利用数形结合法求解.(3)利用余弦函数的单调性求解.ysin(2x).3ycos(2x).6【规范解答】(1)原函数可化为故所求函数的增区间是的减区间.由得所求函数的减区间是的增区间.由得故所求函数的增区间为减区间为ysin(2x)3，ysin(2x)332k2x2k,kZ.232511kxk,kZ.1212ysin(2x)32k2x2k,kZ,2325kxkkZ.1212，511k,kkZ,1212［］5k,kkZ.1212［］(2)作出函数y=|tanx|的图象如图.可知所求函数的增区间是减区间是k,k)kZ,2［(k,kkZ.2］(3)由得由得故所求函数的增区间是减区间是2k2x2kkZ6，7kxk,kZ.12122k2x2k,kZ6，5kxk,kZ.12127k,kkZ,1212［］5k,kkZ.1212［］【规律方法】三角函数的单调区间的求法(1)代换法所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角ｕ(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间.(2)图象法函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.【提醒】求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.【变式训练】已知函数y=sinωx在区间上是减函数，则ω的取值范围是()(A)(B)［-3，0］(C)(D)(0，3］,33［］30)2［，3(0?2，］【解析】选A.方法一：由题意可知ω0,由得,又∵函数在区间上为减函数，∴解得x,33［］x,.33［］,33［］,32,3230.2方法二：特值验证法.当时，∴函数是增函数.当ω=3时，ωx∈［-π,π］,函数不单调.当ω=-3时，ωx∈［-π,π］,函数不单调.故排除B,C,D，选A.32x,22［］，考向3三角函数的奇偶性、周期性及对称性【典例3】(1)(2013·宁波模拟)函数的图象的一个对称中心为()(A)(B)(C)(D)fxsin(2x)4(,0)4(,0)2(,0)83(,0)8(2)(2013·温州模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=对称的是()(A)y=sin(2x-)(B)y=sin(2x-)(C)y=sin(2x+)(D)y=sin()(3)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),对于任意x都有则等于()(A)2或0(B)-2或2(C)0(D)-2或0f(x)f(x)66，f()63366x23【思路点拨】(1)根据三角函数的性质令解出x的值，然后结合选项，代入检验即可.(2)周期已知,再由对称轴的几何特征验证对称性.(3)利用已知可得对称轴，从而获解.2xkkZ4，，【规范解答】(1)选D.由三角函数的图象可知，对称中心为图象与x轴的交点，∴当k=1时，∴是f(x)的图象的一个对称中心.k2xk,kZx,kZ,428，3x8，3(,0)8(2)选B.由周期为π知，选项D不成立.又图象关于直线x=对称知，当x=时函数取得最值，选项A中，当x=时，y=sin(2×-)=sin=不合题意；选项C中，当x=时，y=sin()=不合题意；选项B中，当x=时，y=sin(2×-)=sin=1，符合题意，故应选B.33333332，323651sin,623362(3)选B.由得是f(x)的一条对称轴，故