5_3实对称矩阵的对角化

4251300110010101011010001010010111§5.3实对称矩阵的对角化一、内积的定义及性质二、向量的长度及性质三、正交向量组的概念及求法四、正交矩阵五、对称矩阵的性质六、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法七、小结Page2定义1维向量设有n,,2121nnyyyyxxxxnnyxyxyxyx2211,令.,的与为向量称yxyx内积一、内积的定义及性质Page3说明1维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．4nn.,:,,,2yxyxyxT为内积可用矩阵记号表示向量都是列如果内积是向量的一种运算Page4内积的运算性质:,,,为实数维向量为其中nzyx;,,)1(xyyx;,,)2(yxyx;,,,)3(zyzxzyx.0],[0,0],)[4(xxxxx时有且当Page5定义2非负性.1齐次性.2三角不等式.3,,22221nxxxxxx令.或的维向量为称xnx长度范数向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0xxxx时当时当;xx.yxyx二、向量的长度及性质单位向量：1,.xx当时称为单位向量Page6１正交的概念２正交向量组的概念.,0],[yxyx与称向量时当正交.,0,与任何向量都正交则若由定义知xx若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．三、正交向量组的概念及求法Page7,0021111T由.01从而有.02r同理可得.,,,21线性无关故r使设有r,,,21证明02211r得左乘上式两端以,1aT0111T３正交向量组的性质线性无关.,,,则非零向量,是一组两两正交的,,,维向量若定理rrn21211Page8nnRnR定义3欧几里得空定义了内积的实向量空间称为维(Euclideanspace)，在间中，规(范1)正交由单位向组量构成的正交组叫做(或标准正交组)；4规范正交基12,,,0,(,)1,nnijijnRijij(2)称含有个向量的规范正交组(II)为的一个(或规范正交基标准正交)，即(II)基满足.LPage9.212100,212100,002121,0021214321eeee例如.4,3,2,1,,1],[.4,3,2,1,,0],[jijieejijieejiji且且由于.,,,44321的一个规范正交基为所以ReeeePage10.1000,0100,0010,00014321同理可知.4的一个规范正交基也为RPage11（1）正交化，取，11ab,,,1112122bbbabab12,,,,raaaV若为向量空间的一个极大无关组L5求规范正交基的方法1212121212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.rrrrrVVeeeeee设是向量空间的一个极大无关组要求的一个规范正交基就是要找一组两两正交的单位向量使与等价这样一个问题称为把这个极大无关组规范正交化LLLLLPage12111122221111],[],[],[],[],[],[rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,,,,,,111等价与且两两正交那么rrraabbbb（2）单位化，取,,,,222111rrrbbebbebbe.,,,21的一个规范正交基为那么Veeer222321113133],[],[],[],[bbbabbbbababPage13例1用施密特正交化方法，将向量组)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1(321aaa正交规范化.解先正交化，1,1,1,111ab1112122,,bbbabab1,1,1,111114114,0,1,13,1,2,0取.,,,,,11称为的过程向量组构造出正交上述由线性无关向量组rrbbaa施密特正交化过程Page14222321113133],[],[],[],[bbbabbbbabab3,1,2,014141,1,1,1481,1,5,30,2,1,1再单位化，143,141,142,03,1,2,0141222bbe0,62,61,610,2,1,161333bbe得规范正交向量组如下21,21,21,211,1,1,121111bbePage15.,,,,,111321321两两正交使求一组非零向量已知aaaaaa例2解.110,10121它的基础解系为.0,0,321132xxxxaaaT即应满足方程Page16把基础解系正交化，即合所求．亦即取,12a.],[],[1112123a于是得其中,2],[,1],[1121,1012a.12121101211103aPage17为正交矩阵的充要条件是的列向量和行向量都是标准（规范）正交基．AA证明TAEAE定义4.,1正交矩阵为称则即满足阶方阵若AAAEAAAnTT定理2112111112112222212221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa四、正交矩阵Page181212,,,TTnTnE121111222212TTTnTTTnTTTnnnnE1,;,1,2,,0,Tijijijijnij当当Page19又由定义知正交正交TAA的列向量组是标准正交基,TA的行向量组是标准正交基.A12,,,n是标准正交基，Page20定理3对称矩阵的特征值为实数.证明,,对应的特征向量为复向量的特征值为对称矩阵设复数xA.0,xxAx即,的表示用共轭复数xAxA则.xxAx五、对称矩阵的性质说明：以下所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．,的表示xx共轭复向量Page21于是有AxxTAxxT及AxxTxxT,xxTxAxTTxxATxxT.xxT两式相减，得.0xxT,0x但因为,0,即.是实数由此可得,0121niiniiiTxxxxx所以Page22定理3的意义,()0,0,.iiiAAExAE由于对称矩阵的特征值为实数所以齐次线性方程组是实系数方程组由知必有实的基础解系从而可以对应的特向量取征实向量Page2312121212,,,,,.Apppp定理4设是对称矩阵的两个特征值是对应的特征向量若则与正交证明,,,21222111AppApp,,AAAT对称TTTAppp11111,11ApApTTT于是22121211ppAppppTTT,212ppT.02121ppT,21.21正交与即pp.021ppTPage24,,(),.AnArAERAEnrr设为阶是的特征多项式的重根则矩阵的秩从而对应特征值恰有个线性无关的对称矩定理5特征向量阵1,,,.AnPPAPAn设为阶对称矩阵则必有正交矩阵使其中是以的个特征值为对角元素的定6对角矩阵理证明,,,,21s它们的重数依次为srrr,,,21).(21nrrrs根据定理3（对称矩阵的特征值为实数）和定理5(如上)可得：设的互不相等的特征值为APage25,21知由nrrrs由定理4知对应于不同特征值的特征向量正交，(1,2,,),,,.isriiri对应特征值恰有个线性无关的把它们即得个实特征向量正交单位正交的特化单位化征向量并PPAPP11.,,,11个特征值的是恰个个的对角元素含其中对角矩阵nArrss这样的特征向量共可得个.n故这个单位特征向量两两正交.n以它们为列向量构成正交矩阵，则PPage26根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：六、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.;,0的特征向量求出由AxEAi1.;的特征值求APage27解20212022EA2140.2,1,4321得220212,020A例3对下列实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.APP1P第一步求的特征值APage28的特征向量求出由第二步AxEAi,0得由对,04,41xEA04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系.1221得由对,0,12xEA0202202323121xxxxxx解之得基础解系.2122Page29得由对,02,23xEA02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系.2213第三步将特征向量正交化.,,,3,,321321故它们必两两正交的特征向量个不同特征值的是属于由于A第四步将特征向量单位化.3,2,1,iiii令Page30,3132321得,3231322.3232313,22121212231,,321P作.2000100041APP则Page311．将一组极大无关组规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将极大无关组正交化，然后再将其单位化．;11TAA;2EAAT;3单位向量的列向量是两两正交的A.4单位向量的行向量是两两正交的A七、小结2．为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：APage323.对称矩阵的性质：(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．4.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)最后单位化．