博弈论之豪泰林模型

丁川[e-mail]2.3豪泰林（Hotelling）价格竞争模型在库诺特模型中，产品是同质的，在这个假设下，如果企业的竞争战略是价格而不是产量，伯特兰德（Bertland,1883）(又译为：伯川德）证明，即使只有两个企业，在均衡情况下，价格等于边际成本，企业利润为零，与完全竞争市场均衡一样。这便是所谓的“伯特兰德悖论”，解开这个悖论的办法之一是引入产品的差异性。如果不同企业生产的产品是有差异的，替代弹性就不会是无限的，此时消费者对不同企业的产品有着不同的偏好，价格不是他们感兴趣的唯一变量。还存在产品差异的情况下，均衡价格不会等于边际成本。产品差异性有多种形式。我们现在考虑一种特殊的差异，即空间上的差异，这就是经典的豪泰林模型。在豪泰林模型中产品在物质性能上相同的，但在空间位置上有所差异。因为不同位置上的消费者要支付不同的运输成本，他们关心的是价格与运输成本之和，而不单是价格。假设有一个长度为1的线性城市，消费者均匀地分布在[0，1]区间里，分布密度为1。假定有两个商店，分别位于城市的两端，商店1在x=0，商店2在x=1，出售物质性能相同的产品，每个商店提供单位产品的成本为c，消费者购买商品的旅行成本与离商店的距离成正比例，单位距离的成本为t。这样，住在x的消费者如果在商店1采购，要花费tx的旅行成本；如果在商店2采购，要花费t(1-x)。假定消费者具有单位需求，即或者消费1个单位或者消费0个单位。消费者从消费中得到的消费剩余为。s我们现在考虑两商店之间价格竞争的纳什均衡。假定两个商店同时选择自己的销售价格。为了简单起见，我们假定相当于购买总成本（价格加旅行费用）而言足够大从而所有消费者都购买一个单位的产品。令pi为商店i的价格，Di(p1,p2)为需求函数，i=1,2。如果住在x左边的将都在商店1购买，而住在x右边的将在商店2购买，需求分别为D1=x，D2=1-x，这里x满足p1+tx=p2+t(1-x)ss解上式得需求函数分别为：D1(p1，p2)=x=(p2-p1+t)/2tD2(p1，p2)=1-x=(p1-p2+t)/2t利润函数分别为：Π１(p1，p2)=(p1－c)D1(p1，p2)=(p1－c)(p2-p1+t)/2tΠ２(p1，p2)=(p2－c)D2(p1，p2)=(p2－c)(p1-p2+t)/2t商店ｉ选择自己的价格pｉ最大化利润Π，给定pｊ，两个一阶条件分别是：二阶条件是满足的。解上述两个一阶条件，得最优解为（注意对称性）：P１＊＝P２＊＝c＋t每个企业的均衡利润为：Π１＝Π２＝t/2121121222020pctpppctpp我们将消费者的位置差异解释为产品差异，这个差异进一步可以解释为消费者购买产品的旅行成本。旅行成本越高，产品的差异越大，均衡价格从而均衡利润也就越高，原因在于，随着旅行成本的上升，不同商店出售的产品之间的替代性下降，每个商店对附近的消费者的垄断能力加强，商店之间的竞争越来越弱，消费者对价格的敏感度下降，从而每个商店的最优价格接近于垄断价格。另一方面，当旅行成本为零时，不同商店的产品之间具有完全的替代性，没有任何一个商店可以把价格定的高于成本，我们得到伯特兰德均衡结果。在以上的分析中，我们假定两个商店分别位于城市的两个极端，事实上，均衡结果对于商店的位置是很敏感的，考虑另一个极端的情况，假定两个商店位于同一位置ｘ。此时，他们出售的是同质的产品，消费者关心的只是价格，那么，伯特兰德均衡有唯一的均衡：p1=p2=c，Π１=Π２=0更为一般地，我们可以讨论商店位于任何位置的情况。假定商店1位于a≧0，商店2位于1-b(b≧0)。为不失一般性，假定1-a-b≧0(即商店1位于商店2的左边)。如果旅行成本为二次式，即旅行成本为td2,这里d是消费者到商店的距离，那么，需求函数分别为：D1(p1，p2)=x=a+(1-a-b)/2+(p2-p1)/2t(1-a-b)D2(p1，p2)=1-x=b+(1-a-b)/2+(p1-p2)/2t(1-a-b)需求函数的第一项是商店自己的“地盘”（a是住在商店１左边的消费者，b是住在商店２右边的消费者），第二项是位于两商店之间的消费者中靠近自己的一半，第三项代表需求对价格差异的敏感度。纳什均衡为：P１＊(a，b)＝c＋t(1-a-b)(1+（a-b）／３)P１＊(a，b)＝c＋t(1-a-b)(1+（b-a）／３)当a=b=０时，商店１位与０，商店２位于１，我们回到前面讨论的第一种情况：P１＊(０，１)＝P２＊(０，１)＝c＋t当=时，两个商店位于同一位置，我们走到另一种极端：P１＊(a，１-a)＝P２＊(a，１-a)＝c练习如果在一条1千米长的长街上均匀居住着许多居民，有两个人同时想在该长街上开便利店。1.如果假设所有居民都是到最近的便利店购买商品，问这两个人会如何选择店面位置？2.如果假设每户居民都是到最近的便利店购买商品，但购买数量与他们到便利店的距离有关，假设，Q=1-D,Q为购买量，D为居民与便利店的距离，此时问这两个人会如何选择店面位置？问题201(x+y)/2xy11Cont….122[1(1)]()[1(1)]222(,)221(4452)8yxyxxxxIxyxyxyxy222[1(1)]()(1)(1)22(,)221(44524)8xyxyyyyyIxyyxyxxyCont….一阶条件为:说明:纳什均衡与居民购买量与距离无关时是相同的。两点的任务是争夺客户资源，而不是增加单个客户的购买量，消费者的利益是被忽略的。4102041020xyyx1解得：x=y=2文献选读1、服务延伸产品差异化_服务增强机制探讨_基于Hotelling地点模型框架内的理论2、商户联盟与Hotelling竞争下支付卡交换费的比较分析3、跨国并购后的品牌策略_基于Hotelling模型的分析4、具有网络外部性的扩展Hotelling模型5、对中国移动_中国联通价格竞争的一种解释_存在转换成本的双寡头价格博弈6、关系营销适用性的博弈分析_一个拓展的豪泰林_Hotelling_模型