《自动控制原理》 胡寿松 自动控制原理简明教程4

第四章线性系统的根轨迹法§4.1根轨迹法的基本概念§4.2根轨迹绘制的基本规则§4.3广义根轨迹§4.4系统性能的分析自动控制原理课程的任务与体系结构特点：（1）图解方法，直观、形象；（2）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化趋势；（3）近似方法，不十分精确。根轨迹法是控制系统的三大分析校正方法之一。§4.1.1根轨迹概念根轨迹(rootlocus)简称根迹，它是开环系统某一参数（如开环增益）从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。§4.1根轨迹法的基本概念例4-1：系统结构图如图所示，分析l随开环增益K变化的趋势。解：)2(2)15.0()(*ssKKssKsGK:开环增益K*:根轨迹增益*2*2)()()(KssKsRsCs02)(*2KsssD*2,111Kl*2,111Kl02)(*2KsssD110§4.1.2根轨迹与系统性能系统性能：稳定性、稳态性能、动态性能。§4.1.3闭环零、极点与开环零、极点之间的关系控制系统的一般结构如右图，相应的开环传递函数为一般传递函数可写为()()()kGsGsHs*11()fGiigiiKszGssp*11()lHjjhjjKszHssp*1111()()flijijghijijKszszGsHsspsp则***,,GHflmghnKKK*11*11()()1()()fhGijijnmjijiKszspGssGsHsspKsz系统闭环传递函数G(s)C(s)R(s)H(s)由上式可以得到如下关系1）闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益；对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益；2）闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点所组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点；3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。根轨迹法的基本任务在于，如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。*K根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的原则，可得绘制系统根轨迹的基本条件，即幅值条件：相角条件：G(s)C(s)R(s)H(s)§4.1.4根轨迹方程图示系统，闭环特征方程为1()1()()0KGsGsHs即**111111()()1flmijiijignhjijjijKszszKszGsHsspspsp根轨迹方程*11()()1miinjjKszGsHssp1111()()()()(21)(0,1,2,)mnijijmnijijGsHsszspkk式中，分别代表所有开环零点、极点到根轨迹上某一点的向量相角之和。,ij相角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件；当需要确定根轨上各点的值时，使用幅值条件。K§4.2根轨迹绘制的基本规则180°根轨迹的绘制规则（）规则1根轨迹的起点和终点根轨迹起于系统开环极点，终于系统开环零点。如果开环零点数m小于开环极点数n，则有(n-m)条根轨迹趋向于无穷远。规则2根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支数与开环零点数m、开环极点数n中的大者相等，它们是连续的并且关于实轴对称。根据根轨迹的对称性，只需要作出上半s平面的根轨迹，然后利用对称关系，即可画出下半s平面的根轨迹。()()(21)GsHskp1jωσ××p2z规则3根轨迹的渐近线(与实轴的交点和夹角)当开环极点数n大于开环零点数m时，有n-m条趋向无限零点的根轨迹的走向。（1）渐近线与实轴的倾角（2）渐近线与实轴的交点式中，分别为开环系统的零点和极点。注：只有在时，需要计算渐近线与实轴的交点和夹角。(21);0,1,2,,1akknmnm11nmjijiapznm,ijzp2)(mnj0K=0K=0KK0j0jKgKgKg0j0j-1-2j1规则4根轨迹在实轴上的分布实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。jωσ××××例4-2：已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根迹。22)3s)(2s(s)6s)(4s)(1s(K)s(G[-1，-2]右侧实零、极点数=3[-4，-6]右侧实零、极点数=7jωσ┸┸┸┸┸┸-6-5-4-3-2-10×××××1()()(0.5)KGsHsss解：无零点，有两个极点120,0.5pp180(21)(0)1809020aqqnm其根轨迹有两条分支趋向无穷远渐近线倾角：例4-3：，绘制根轨迹。渐近线与实轴只交点：110(0.5)00.2520nmijijapznmj0-0.5a两条根轨迹分别从极点0、－0.5出发汇合于a点，然后分离，分别沿90º，－90º的渐近线趋向无穷远。例4-4设某负反馈系统的开环传递函数为)5)(1()()(sssKsHsGg试确定系统根轨迹条数、起点和终点、渐近线及根轨迹在实轴上的分布。解：开环极点p1=0、p2=1、p3=5。系统的根轨迹有三条分支，分别起始于系统的三个有限的开环极点，由于不存在有限的开环零点，当Kg时，沿着三条渐近线趋向无穷远处；三条渐近线在实轴上的交点20351011mnzpmiinjja0j210353312，，，，kka实轴上的根轨迹分布在(0，1)和(5，)的实轴段上。60)5)(1()()(sssKsHsGg三条渐近线与正实轴上间的夹角：-2规则5根轨迹的分离点与分离角两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点（或会合点），它对应于特征方程中的二重根。分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向的夹角。分离点坐标d：分离角：1111mnjijidzdp(21)/kl式中，分别为开环系统的零点和极点;为在s平面上相遇又立即分开的根轨迹的条数，。,ijzpl0,1,,1kl分离点1K1K01K01K分离点1K1K???01K01K会合点l=2时，分离角必为直角。分离点的性质：1）分离点是系统闭环重根；2）由于根轨迹是对称的，所以分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面上；3）实轴上相邻两个开环零（极）点之间（其中之一可为无穷零（极）点）若为根轨迹，则必有一个分离点；4）在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹，该段无分离点或分离点成对出现。j0例4-5求例4-4系统根轨迹的分离点。解：根据例4-4，系统实轴上的根轨迹段（1，0），位于两个开环极点之间，该轨迹段上必然存在根轨迹的分离点。设分离点的坐标为d，则0511101ddd3d2+12d+5=0d1=0.472d2=3.53(不在根轨迹上，舍去，也可代入幅值方程看Kg0否？)分离点上根轨迹的分离角为±90°。0j如果方程的阶次高时，可用试探法确定分离点。d1=0.472)5)(1()(sssKsGgkkd/180例4-6已知系统开环传函为)3)(2()1()(ssssKsG试绘制系统的根轨迹。解：0j213)1(32011mnzpmiinjja2212ka3121111ddddd=2.47d=2.47规则6根轨迹的起始角和终止角(开环极点的出射角和开环零点的入射角)起始角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角；终止角：根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角。ipizp3j0jp1p21p2pz1z2p12pp20(a)(b)[s][s]1p根轨迹的出射角根轨迹的入射角js[]01p2p1z2z1z2z1p2p出射角对复极点，入射角对复零点。11,(21);0,1,2,ijijimnpzpppjjjikk1,1(21);0,1,2,ijijimnzzzpzjjijkk起始角：(p1－p2)(p1－z1)j[s](p1－p3)p30Ap11pp2z1ReIm01s1p2p3pap123aA11z例：起始角)()12(1803211ka终止角：1111213180(21)()(()())pkpzpppp0j-1-2j1试绘制出系统的根轨迹。解：例4-7设负反馈系统的开环传递函数为)5.15.0)(5.15.0)(5.2()2)(2)(5.1()()(jsjsssjsjssKsHsG起始角与终止角123132nxjjjxmiixpppzpx,11)()(180=180+1+2+3123=180+56.5+19+59108.53790=790j-1-2j1mxiiixnjjxzzzpzx,11)()(180=18011790+153+63.5+119+121=149.5试绘制出系统的根轨迹。解：三个开环极点p1=0、p2,3=1±j渐近线：3条32332111pppmnzpnjmiija35312，，mnka0j例4-8设负反馈系统的开环传递函数为)22()()(2sssKsHsGg2p2js根轨迹与虚轴交点：系统的闭环特征方程为s3+2s2+2s+Kg=0劳斯表s312s22Kgs1(4Kg)/2s0Kg令s1系数为0，得Kg=4代入辅助方程2s2+Kg=0实轴上根轨迹：(，0)，即整个负实轴。45)()(18032122ppppp出射角：)22()(2sssKsGgk绘制出系统根轨迹如图所示。0j12KgKgKgj1.414Kg=4)22()(2sssKsGgk-45°规则7根轨迹与虚轴的交点当根轨迹增益K*增加到一定数值时，根轨迹可能越过虚轴进入右半平面，出现实部为正的特征根。根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特征方程至少有一对共轭虚根。根轨迹与虚轴交点的求法：1）劳斯判据法应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K’，由K’值求出相应的ω值。2）代数法js0)()(1jHjG把代入特征方程Re1()()0Im1()()0GjHjGjHj令：联立求解方程，得根轨迹与虚轴的交点ω值和相应的临界K’值。方法1—Routh判据法Routh表：S312S23k’S10S0k’06'3k32'320sssKK’=6时，S1行全为0辅助方程：3S2＋6＝0解方程得：2sj2)2)(1()()('sssKsHsG例：系统的开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点例：系统的开环传递函数求根轨迹与虚轴的交点。)2)(1()()('sssKsHsG解：方法2—代数法0)2()3()(2)(3)(32''23jKKjjj032'＝K023＝26'K解方程得：js将代入系统闭环特征方程法则8根之和。当时，无论K*取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和。2mnni