您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 质量控制/管理 > 2012高考数学考点回归总复习课件16
第四模块三角函数第十六讲任意角和弧度制及任意角的三角函数2回归课本31.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.旋转开始时的射线OA叫做角的始边,旋转终止时的射线OB叫做角的终边,按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角.若一条射线没作任何旋转,称它形成了一个零角.42.象限角把角置于直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.5象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限角{α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z}63.象限界角(即轴线角)角α终边位置角α的集合在x轴非负半轴上{α|α=k·360°,k∈Z}在x轴非正半轴上{α|α=k·360°+180°,k∈Z}在y轴非负半轴上{α|α=k·360°+90°,k∈Z}在y轴非正半轴上{α|α=k·360°-90°,k∈Z}在x轴上{α|α=k·180°,k∈Z}在y轴上{α|α=k·180°+90°,k∈Z}7注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,即为象限界角(或轴线角).84.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}或S={β|β=α+2kπ,k∈Z},前者α用角度制表示,后者α用弧度制表示.9注意:(1)终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.(2)一般地,终边相同的角或通式表达形式不唯一,如α=k·180°+90°(k∈Z)与β=k·180°-90°(k∈Z)都表示终边在y轴上的所有角.(3)应注意整数k为奇数、偶数的讨论.105.弧度制(1)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制,它的单位符号是rad,读作弧度.(2)一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.116.度与弧度的换算关系∵周角的为1度的角即周角=1°,周角=1rad∴360°=2πrad∴180°=πrad,1°=rad,1rad=°≈57°18′.1360136012180180127.扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<2π)为圆心角弧长l=αR,即弧长等于该弧所对的圆心角的弧度数乘以半径.扇形面积S=l·R=α·R2.1212138.在直角坐标系中利用单位圆的定义求任意角的三角函数设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;(3)y,x叫做α的正切,记作tanα,即tanα=(x≠0).yx149.利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数设直角坐标系中任意大小的角α终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离是r(r>0),那么任意角的三角函数的定义:15注意:要特别注意三角函数的定义域.1610.各象限角的三角函数值和符号如图所示三角函数正值口诀:Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ正切,Ⅳ余弦.1711.终边相同的角的同一三角函数的值相等,即sin(α+k·2π)=sinαcos(α+k·2π)=cosα(其中k∈Z)tan(α+k·2π)=tanα1812.三角函数线图中有向线段MP,OM,AT分别表示正弦线、余弦线和正切线.1920注意:当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角α的正切值不存在.21考点陪练221.已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},下列四个命题:①A=B=C,②AC,③CA,④A∩C=B,其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3答案:A232.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是()..33..66ABCD答案:B243,833..243.1,33..816ABCD若扇形的面积为半径为则扇形的圆心角为答案:B254.有下列命题:(1)终边相同的角的同名三角函数的值相等;(2)终边不同的角的同名三角函数的值不等;(3)若sinα0,则α是第一、二象限的角;(4)若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上一点,则cosα=22.xxy26其中正确的命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个27解析:根据任意角三角函数的定义知(1)正确;对(2),我们可举出反例对(3),可指出,但不是第一、二象限的角;对(4),因为α是第二象限的角,已有x0,应是cosα=.答案:A2;33sinsin02sin222xxy285.若sinα0且tanα0,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:∵sinα0,∴α是第三、四象限的角或角的终边在y轴负半轴上.又∵tanα0,∴α是第一、三象限的角.∴α是第三象限的角.答案:C29类型一角的集合表示解题准备:(1)任意角β都可以表示成β=α+k·360°(0°≤α360°,k∈Z).(2)并不是所有角都是某象限角,当角的终边落在坐标轴上时,它就不属于任何象限.(3)相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.(4)注意“第一象限角”、“锐角”、“小于90°的角”是范围不同的三类角,需加以区别.30【典例1】(1)如果α是第三象限角,那么-α,2α的终边落在何处?(2)写出终边在直线上的角的集合;(3)若角θ的终边与角的终边相同,求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角.[分析]利用终边相同的角的集合进行求解.3yx67331[解](1)由α是第三象限角得π+2kπα+2kπ(k∈Z)-2kπ-α-π-2kπ(k∈Z).即+2kπ-απ+2kπ(k∈Z).∴-α的终边在第二象限;由π+2kπα+2kπ(k∈Z)得2π+4kπ2α3π+4kπ(k∈Z).∴角2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上.323223232(2)在(0,π)内终边在直线上的角是∴终边在直线上的角的集合为{α|α=+kπ,k∈Z}.(3)∵θ=+2kπ(k∈Z),∴(k∈Z).3yx,33yx36722373k33223187302(kZ)(kZ7).7kk≤依题意≤322034,,.721k210,1,2,[0,2)即在内终边与角的终边相同的角为34[反思感悟](1)利用终边相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍,然后判断角α所在的象限.(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.35类型二扇形弧长,面积公式应用解题准备:设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(弧度),半径为r,则l=|α|·r;S扇形=|α|r2.注意:这里给出的弧长、扇形面积公式是在弧度制下的,使用时切记将圆心角用弧度来表示.1122lr36【典例2】已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径为r.(1)若α=60°,r=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;(2)若扇形的周长是一定值c(c0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?3722 []1l,S,60r10,lcm,310110132323350,S3SS1010sin2cm.弓弓扇解设弧长为弓形面积为38222222212:c2rl2rr.rSr112222441,42162(2),.44,ccccc扇解法一扇形周长≤当且仅当即舍去时扇形面积有最大值3922ax2m2(),2111()2:2241,42162,2.21622rlc,rSl,S2cllcclrllcllcclccclcrc解法二由已知当时此时∴当扇形圆心角为2弧度时,扇形面积有最大值.40类型三三角函数的定义解题准备:(1)任意角的三角函数值,只与角的终边位置有关,而与终边上的点的位置无关;(2)当点P的坐标中含字母时,表达r时要注意分类讨论思想的应用.41【典例3】已知α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sinα、cosα、tanα的值.[分析]根据任意角三角函数的定义,应首先求出点P到原点的距离r,由于含有参数a,要注意分类讨论.4222 []ra0,r5a,.sincost(4)(3)5||.33,554433,.554an4aaayaraxayaraxa解若角在第二象限a0,r5a,.sincosta343,,.554n若角在第四象限43[反思感悟](1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.(2)熟记几组常用的勾股数组,如(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等,会给我们解题带来很多方便.(3)若角α已经给定,不论点P选择在α的终边上的什么位置,角α的三角函数值都是确定的;另一方面,如果角α终边上一点坐标已经确定,那么根据三角函数定义,角α的三角函数值也都是确定的.44类型四象限角与三角函数符号问题解题准备:三角函数的符号如下表正值口诀:Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦.45【典例4】(1)如果点P(sinθ•cosθ,2cosθ)位于第三象限,试判断角θ的终边所在的象限.(2)若θ是第二象限角,则的符号是什么?()(2)sincoscossin46[分析](1)由点P所在的象限,知道sinθ•cosθ,2cosθ的符号,从而可求sinθ与cosθ的符号.(2)由θ是第二象限角,可求cosθ,sin2θ的范围,进而把cosθ,sin2θ看作一个用弧度制的形式表示的角,并判断其所在的象限,从而sin(cosθ),cos(sin2θ)的符号可定.47[解](1)因为点P在第三象限,∴sinθ•cosθ0且2cosθ0,因此必有sinθ0,cosθ0,故θ的终边在第二象限.48(2)因为θ是第二象限角,所以cosθ0,且-1≤cosθ0,即cosθ是第四象限角,因此sin(cosθ)0;又sin2θ=2sinθ•cosθ0,所以-1≤sin2θ0,即sin2θ也是第四象限角,因此cos(sin2θ)0.故()0.(2)sincoscossin49[反思感悟]此处要正确理解sin(cosθ)的含义,sin(cosθ)中,是把角θ的余弦值(一个实数)作为一个角的弧度数,求该角的正弦值,因此只需研究cosθ这个角的范围(所在象限)即可.50错源一忽视表示区间角的不等式两端的大小关系【典例1】用集合表示终边在阴影部分的角α的集合.51[错解]由图可知,终边落在射线OA上的角为2kπ+(k∈Z),终边落在射线OB上的角为2kπ-(k∈Z).4352所以终边落在图中阴影部分的集合为α∈{α|2kπ+≤α≤2kπ-,k∈Z}.43[剖析]上面集合中的关于角的不等式是一个矛盾的不等式,左边的比右边的大.53[正解]由图知,终边落在射线OA上的角为2kπ+(k∈
本文标题:2012高考数学考点回归总复习课件16
链接地址:https://www.777doc.com/doc-4110105 .html