高中数学【配套课件】4.8正弦定理和余弦定理

§4.8正弦定理和余弦定理数学苏(文)第四章三角函数、解三角形基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝；(2)a＝，b＝，c＝；(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝等形式，以解决不同的三角形问题．1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，AB⇔ab⇔sinAsinB.2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．asinAbsinBcsinCsinA∶sinB∶sinC2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2R动画展示基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理2．余弦定理：a2＝，b2＝，c2＝．余弦定理可以变形：cosA＝，cosB＝，cosC＝.3．S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R、r.1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，AB⇔ab⇔sinAsinB.2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理4．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，AB⇔ab⇔sinAsinB.2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345基础知识·自主学习基础自测145227－242基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A、C和边c.题型分类·深度剖析题型一利用正弦定理解三角形思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．思维启迪解析探究提高题型一利用正弦定理解三角形【例1】在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A、C和边c.基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A、C和边c.题型分类·深度剖析思维启迪解析探究提高解由正弦定理得asinA＝bsinB，3sinA＝2sin45°，∴sinA＝32.∵ab，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝6－22.题型一利用正弦定理解三角形基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．思维启迪解析探究提高题型一利用正弦定理解三角形【例1】在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A、C和边c.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则角A的大小为________．题型分类·深度剖析解析∵A＋C＝2B且A＋B＋C＝π，∴B＝π3.由正弦定理知：sinA＝asinBb＝12，又ab，∴AB，∴A＝π6.π6基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．题型分类·深度剖析题型二利用余弦定理求解三角形思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析由cosBcosC＝－b2a＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．思维启迪解析探究提高题型二利用余弦定理求解三角形【例2】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析思维启迪解析探究提高解(1)由余弦定理知：cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.将上式代入cosBcosC＝－b2a＋c得：a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.∵B为三角形的内角，∴B＝23π.题型二利用余弦定理求解三角形【例2】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析思维启迪解析探究提高得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac1－12，∴ac＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝334.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝23π代入b2＝a2＋c2－2accosB，题型二利用余弦定理求解三角形【例2】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．题型分类·深度剖析思维启迪解析探究提高题型二利用余弦定理求解三角形(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练2已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．题型分类·深度剖析解(1)由2cos2A2＋cosA＝0，得1＋cosA＋cosA＝0，即cosA＝－12，∵0Aπ，∴A＝2π3.(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，A＝2π3，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC＝12bcsinA＝3.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三正弦定理、余弦定理的综合应用思维启迪解析探究提高【例3】(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三正弦定理、余弦定理的综合应用思维启迪解析探究提高利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A；面积公式和余弦定理相结合，可求出b，c.【例3】(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.题型分类·深度剖析题型三正弦定理、余弦定理的综合应用思维启迪解析探究提高解(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0Aπ，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．正弦定理、余弦定理的综合应用思维启迪解析探究提高【例3】(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练3在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面积为3，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．题型分类·深度剖析解(1)∵c＝2，C＝π3，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得a2＋b2－ab＝4.又∵△ABC的面积为3，∴12absinC＝3，ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练3在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面积为3，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．题型分类·深度剖析即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA·(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，当cosA＝0时，∵0Aπ，∴A＝π2，△ABC为直角三角形；当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．基础知识题型分类思想方法练出高分高考圈题4.高考中的解三角形问题典例：(14分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．题型分类·深度剖析求解策略解后反思考点分析规范解答基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考查转化能力和运算求解能力．高考圈题4.高考中的解三角形问题典例：(14分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．求解策略解后反思考点分析规范解答基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析高考圈题4.高考中的解三角形问题典例：(14分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．根据三角形内角和定理可直接求得B；利用正弦定理或余弦定理转