高中数学一轮复习课件：简单的三角恒等变换

考纲要求能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．热点提示1.灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图象和性质是高考的热点内容．2．以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角形的面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题．3．多以解答题的形式呈现，属中、低档题.•上述三组公式的作用是什么？•提示：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用.写出公式tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα的推导过程．提示：tanα2＝sinα2cosα2＝2sinα2cosα22cos2α2＝sinα1＋cosα.又∵tanα2＝sinα2cosα2＝2sin2α22sinα2cosα2＝1－cosαsinα，∴tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.1．函数y＝12sin2x＋3cos2x－32的最小正周期等于()A．πB．2πC.π4D.π2解析：y＝12sin2x＋32(1＋cos2x)－32＝12sin2x＋32cos2x＝sin(2x＋π3)．所以T＝π，故选A.答案：A2．化简：1＋sinθ－cosθ1＋sinθ＋cosθ＋1＋sinθ＋cosθ1＋sinθ－cosθ＝()A.2sinθB．cos2θC.1cosθD．sin2θ解析：原式：＝2sin2θ2＋2sinθ2cosθ22cos2θ2＋2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2＋2sinθ2cosθ22sin2θ2＋2sinθ2cosθ2＝sinθ2cosθ2＋cosθ2sinθ2＝1cosθ2sinθ2＝2sinθ答案：A3．已知α、β均为锐角，且tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα，则tan(α＋β)＝________.解析：tanβ＝1－tanα1＋tanα＝tan(π4－α)∵α、β为锐角，∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝1.答案：1•4．已知sinθ＝，且cosθ－sinθ＋10，则sin2θ＝________.【例1】求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α.解：左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cosα2cosα＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边，故原式成立．•证明三角恒等式实质上是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更结论，常用定义法、化弦法、拆项拆角法、1的变换法、公式变形法等方法．在证明本题时，先观察条件和结论的差异(三角函数名及角)，即sin2α与tan，cos2α的差异，先从解决三角函数名这个差异入手，采用条件转化法，即化切为弦，再从角的差异入手，转化为α的正、余弦，最后用倍角公式转化成•sin2α.证明三角恒等式最重要的两个环节是观察条件和结论、灵活选择和应用公式.变式迁移1已知tanπ4＋α＝12.(1)求tanα的值；(2)求sin2α－cos2α1＋cos2α的值．解：(1)tanπ4＋α＝tanπ4＋tanα1－tanπ4tanα＝1＋tanα1－tanα.由tan(π4＋α)＝12，有1＋tanα1－tanα＝12.解得tanα＝－13.(2)sin2α－cos2α1＋cos2α＝2sinαcosα－cos2α1＋2cos2α－1＝2sinα－cosα2cosα＝tanα－12＝－13－12＝－56.【例2】已知向量a＝(cosx－3，sinx)，b＝(cosx，sinx－3)，f(x)＝a·b.(1)若x∈[2π，3π]，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若x∈(π2，3π4)且f(x)＝－1，求tan2x的值．解：(1)f(x)＝a·b＝(cosx－3，sinx)·(cosx，sinx－3)＝1－3(cosx＋sinx)＝1－32sin(x＋π4)．由2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)．又∵x∈[2π，3π]，∴函数f(x)的单调递增区间是[9π4，3π]．(2)由(1)知f(x)＝1－32sin(x＋π4)＝－1，∴sin(x＋π4)＝23，∴cos2(x＋π4)＝1－2sin2(x＋π4)＝59.∴sin2x＝－59.∵x∈(π2，3π4)，∴π2x3π2.∴cos2x＝－1－sin22x＝－2149.∴tan2x＝sin2xcos2x＝51428.若函数f(x)的解析式通过三角恒等变换可转化为f(x)＝asinx＋bcosx＋k的形式，则函数f(x)的解析式可化为f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)＋k(其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2)的形式.变式迁移2函数y＝12sin2x＋sin2x，x∈R的值域是()A．[－12，32]B．[－32，12]C．[－22＋12，22＋12]D．[－22－12，22－12]解析：y＝12sin2x＋sin2x＝12sin2x－12cos2x＋12＝22sin(2x－π4)＋12，故选C.答案：C【例3】已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝(－1，3)，n＝(cosA，sinA)，且m·n＝1.(1)求角A；(2)若1＋sin2Bcos2B－sin2B＝2＋3，求角B.解：(1)∵m·n＝(－1，3)·(cosA，sinA)＝－cosA＋3sinA＝2sin(A－π6)＝1，∴sin(A－π6)＝12，∵0Aπ，∴－π6A－π65π6，∴A－π6＝π6，A＝π3.(2)∵1＋sin2Bcos2B－sin2B＝2＋3，∴sin2B＋cos2B＋2sinBcosBcos2B－sin2B＝2＋3，∴(sinB＋cosB)2(cosB＋sinB)(cosB－sinB)＝2＋3，∴sinB＋cosBcosB－sinB＝2＋3，∴tanB＋11－tanB＝2＋3，解之得tanB＝33，∴B＝π6.本题中化简1＋sin2Bcos2B－sin2B时，把1变成sin2B＋cos2B，配方化简，再利用弦化切得tanB＝33.一般地，常数1可以变换成sin2B＋cos2B或2cos2α－cos2α等，而特殊数也可以变换成三角函数值，如12＝sinπ6，3＝tanπ3等.变式迁移3若sin2α＝2425，则2cosπ4－α的值为()A.15B.75C．±15D．±75解析：已知和所求之间联系不明显，故从所求入手，分析所求代数式．2cosπ4－α＝2cosπ4cosα＋sinπ4sinα＝cosα＋sinα，由于已知sin2α＝2425，可利用(cosα＋sinα)2＝1＋sin2α＝4925，又因sin2α＝242532，故2kπ＋π32α2kπ＋2π3，k∈Z，从而kπ＋π6αkπ＋π3(k∈Z)，即α终边在第一象限或第三象限，所以cosα＋sinα＝±75.答案：D【例4】集合{a1，a2，a3，…，an}和常数a0，定义：ω＝cos2(a1－a0)＋cos2(a2－a0)＋…＋cos2(an－a0)n为集合{a1，a2，a3，…，an}相对于a0的“余弦方差”，试问集合{π2，5π6，7π6}相对于常数a0的“余弦方差”是否会随着a0的变化而变化？解：ω＝cos2(π2－a0)＋cos2(5π6－a0)＋cos2(7π6－a0)3＝12[1＋cos(π－2a0)＋1＋cos(5π3－2a0)＋1＋cos(7π3－2a0)]3＝3＋(－cos2a0＋12cos2a0－32sin2a0＋12cos2a0＋32sin2a0)6＝12，∴集合{π2，5π6，7π6}相对于常数a0的“余弦方差”不会随着a0的变化而变化．•新课标重视创新能力和创新意识，尤其是在陌生的知识背景下，应用已有知识解决新问题的能力，即学习的潜能．此类创新题往往以高等数学知识为背景，要求利用已经学过的知识解决新的问题，关键是理解定义及运算规则，围绕新定义“化生为熟”．本题中的“余弦方差”的计算实质上是用降幂公式进行化简，难度并不大，但只有理解了新定义，才能适当地进行转化.变式迁移4形如a11a12a21a22的符号叫二阶行列式，现规定a11a12a21a22＝a11a22－a21a12，如果f(θ)＝cosθcosπ3sinθsin7π3＝2－221－32，0θπ，求θ的值．解：∵2－221－32＝22，∴f(θ)＝cosθcosπ3sinθsin7π3＝cosθsin7π3－sinθcosπ3＝32cosθ－12sinθ＝sin(π3－θ)＝22，∵－2π3π3－θπ3，∴π3－θ＝π4，∴θ＝π12.•三角函数式的恒等变形，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的办法．二倍角公式的正用、逆用、变形是公式的三种使用方法，特别是二倍角的余弦公式，其变形公式在求值、化简、证明中有着广泛的应用．解题时，应灵活选取．(1)二倍角是相对的，如：2×α2＝α，4α＝2×(2α),3α＝2×(32α)，α＋π3＝2×(α2＋π6)；(2)二倍角公式的逆向变换及其有关变形：1±sin2α＝(sinα±cosα)2；1＋cosα＝2cos2α2；1－cosα＝2sin2α2；cos2α＝1＋cos2α2；sin2α＝1－cos2α2.其中cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2称为降幂公式，而1－cos2α＝2sin2α，1＋cos2α＝2cos2α称为升幂公式．