高中数学一题多解

高中数学一题多解思维训练“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”。这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。例1已知复数z的模为2，求iz的最大值。解法一（代数法）：设，、)(Ryxyixz.25)1(.42222yyxizyx＝则.32,2maxizyy时，当解法二（三角法）：设),sin(cos2iz则.sin45)1sin2cos422＋（iz.31sinmaxiz时，当解法三（几何法）：。所对应的点之间的距离与表示上的点，是圆点izizyxzz4,222如图1所示，可知当iz2时，.3maxiz解法四（运用模的性质）：yxO．i．-2i图1Z312iziz而当iz2时，.3.3maxiziz解法五（运用模的性质）：1)()()(2izzzziziziz.)((),(25的虚部）表zzIzI又.3,9,2)(max2maxizizzI例2已知.1,12222yxba求证：.1byax分析1用比较法。本题只要证.0)(1byax为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。证法1：)()11(21)(1byaxbyax)()(212222byaxyxba,0])()[(21)]2()2[(21222222ybxaybybxaxa所以.1byax分析2运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。证法2：要证.1byax只需证,0)(1byax即,0)(22byax因为.1,12222yxba所以只需证,0)(2)(2222byaxyxba即.0)()(22ybxa因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。分析3运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）证法3：.2,22222ybbyxaax.1222222ybxabyax即.1byax分析4三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。证法4：,1,12222yxba可设cos,sin.cos,sinyxba,1)cos(coscossinsinbyax分析5数形结合法：由于条件122yx可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而.22babyaxbyax联系到点到直线距离公式，可得下面证法。证法5：（如图2）因为直线0:byaxl经过圆122yx的圆心O，所以圆上任意一点),(yxMxM·yd图2O到直线0byax的距离都小于或等于圆半径1，即.11||||22byaxbyaxbabyaxd简评五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。例3如果,0))((4)(2zyyxxz求证：zyx、、成等差数列。分析1要证zyx、、，必须有zyyx成立才行。此条件应从已知条件中得出。故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。证法1：,0))((4)(2zyyxxz,02,0)2(,0)2()(22)(,044442222222yzxyzxyzxyzxyzyxzxyxxzz故zyyx，即zyx、、成等差数列。分析2由于已知条件具有xzzyyx,,轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。证法2：设,,bzyayx则.bazx于是，已知条件可化为：.0)(04)(22zyyxbabaabba所以zyx、、成等差数列。分析3已知条件呈现二次方程判别式acb42的结构特点引人注目，提供了构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。证法3：当0yx时，由已知条件知,,0zyxxz即zyx、、成等差数列。当0yx时，关于t的一元二次方程：,0)()()(2zytxztyx其判别式,0))((4)(2zyyxxz故方程有等根，显然t＝1为方程的一个根，从而方程的两根均为1，由韦达定理知.121zyyxyxzytt即zyx、、成等差数列。简评：证法1是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。证法2简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证法3引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发。例4已知1yx，求22yx的最小值。分析1虽然所求函数的结构式具有两个字母yx、，但已知条件恰有yx、的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。解法1：.1,1xyyx设22yxz，则.122)1(222xxxxz二次项系数为,02故z有最小值。当21222x时，.212421242＝）－（－＝最小值z22yx的最小值为.21分析2已知的一次式1yx两边平方后与所求的二次式22yx有密切关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。解法2：,1)(,12yxyx即.2122xyyx).(1,2222222yxyxyxxy即,2122yx当且仅当21yx时取等号。22yx的最小值为.21分析3配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。解法3：设.22yxz.2121)21()21(1,12222yxyxyxzyx当21yx时，.21＝最小z即22yx的最小值为.21分析4因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。解法4：如图3，1yx表示直线,l22yx表示原点到直线l上的点),(yxP的距离的平方。显然其中以原点到直线l的距离最短。此时，,222|100|d即.22)(22＝最小yx所以22yx的最小值为.2111Oxy图3注：如果设,22zyx则问题还可转化为直线1yx与圆zyx22有交点时，半径z的最小值。简评：几种解法都有特点和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法4，形象直观，值得效仿。例5设.1,2RzzRz求证：.1||z分析1由已知条件21zz为实数这一特点，可提供设实系数二次方程的可能，在该二次方程有两个虚根的条件下，它们是一对共轭虚根，运用韦达定理可以探求证题途径。证法1：设),(12Raazz当0a时，可得0z与Rz条件不合。.0a于是有.02azaz,Rz该方程有一对共轭虚根，设为21,zz，于是.||||,222121zzzz又由韦达定理知.1||.1||||,12221221121zzzzzzzaazz分析2由于实数的共轭复数仍然是这个实数，利用这一关系可以建立复数方程，注意到2||zzz这一重要性质，即可求出||z的值。证法2：设),(12Raazz当0a时，可得0z与Rz条件不合，.0a则有21zza，.11,22zzzzaa即).()()1()1(22zzzzzzzzzzzz但,||2zzz.0)||1)((,||||222zzzzzzzzz而.1||,2zRzz即.1||z分析3因为实数的倒数仍为实数，若对原式取倒数，可变换化简为易于进行运算的形式。再运用共轭复数的性质，建立复数方程，具有更加简捷的特点。证法3：,1,122RzzRzz即.11Rzzzzzz从而必有.1||.1zzz简评：设出复数的代数形式或三角形式，代入已知条件化简求证，一般也能够证明，它是解决复数问题的基本方法。但这些方法通常运算量大，较繁。现在的三种证法都应用复数的性质去证，技巧性较强，思路都建立在方程的观点上，这是需要体会的关键之处。证法3利用倒数的变换，十分巧妙是最好的方法。例6由圆922yx外一点)12,5(P引圆的割线交圆于BA、两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。分析1（直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。解法1：如图4－2－3，设弦AB的中点M的坐标为),(yxM，连接OMOP、，则ABOM，在OMP中，由两点间的距离公式和勾股定理有.169)12()5(2222yxyx图4PMBAOyx整理，得.012522yxyx其中.33x分析2（定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。解法2：因为M是AB的中点，所以ABOM，所以点M的轨迹是以||OP为直径的圆，圆心为)6,25(,半径为,2132||OP该圆的方程为：222)213()6()25(yx化简，得.012522yxyx其中.33x分析3（交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点M可看作直线OM与割线PM的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。解法3：设过P点的割线的斜率为,k则过P点的割线方程为：)5(12xky.ABOM且过原点，OM的方程为.1xky这两条直线的交点就是M点的轨迹。两方程相乘消去,k化简，得：.012522yxyx其中.33x分析4（参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数。由于动点M随直线的斜率变化而发生变化，所以动点M的坐标是直线斜率的函数，从而可得如下解法。解法4：设过P点的割线方程为：)5(12xky它与圆922yx的两个交点为BA、，AB的中点为M.解方程组,912)5(22yxxky利用韦达定理和中点坐标公式，可求得M点的轨迹方程为：.012522yxyx其中.33x分析5（代点法）根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点M的坐标),(yx与两交点),(),(2211yxByxA、通过中点公式联系起来，又点、、MPBA、构成4点共线的和谐关系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。解法5：设),,(),,(),,(2211yxByxAyxM则.2,22121yyyxxx.9,922222121yxyx两式相减，整理，得.0))(())((211