高中数学人教A版必修5《1.1.1正弦定理》课件

正弦定理复习三角形中的边角关系1、角的关系2、边的关系3、边角关系180CBAcbacba,大角对大边，小边对小角（一）三角形中的边角关系（二）直角三角形中的边角关系（角C为直角）1、角的关系2、边的关系3、边角关系90BA222cbasinsinsinabcABC探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？正弦定理及其应用1、正弦定理形式的提出abc===2RsinAsinBsinC的外接圆的半径是ABCR正弦定理的推导：ABDC.ObacsinsinsinabcABC=2R(R为△ABC外接圆半径）证明：如图，圆⊙O为△ABC的外接圆，BD为直径,则∠A=∠D,2;sinsinsin90aaBDRAD2,2;sinsinbcRRBC同理，∴sinsinsinabcABC=2R(R为△ABC外接圆半径）CcBbAaaBCbACcABsinsinsin,,,ABC求证：，已知证明：.ABjBCjACj的夹角为与，的夹角为与，的夹角为与则垂直，与作单位向量过ABjAA90B9090jBACacbBaAbsinsinBbAasinsinBCABAC又BCjABjBCABjACj)(cos(90)0cos(90)jACAjBCBjBACacb.sinsinsin.sinsinBCjBCcBbAaCcBb，垂直于作单位向量同理可证：过ABCj类似可推出，三角形为钝角三角形时，以上关系式仍然成立．abc===2RsinAsinBsinC正弦定理：公式变形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCabcsinA=,sinB=sinC=2R2R2R，a:b:c=sinA:sinB:sinC利用正弦定理可以实现边角互化，可以解决以下两类问题：1、已知两角和任一边，求其它两边和一角。AAS2、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。SSA(从而进一步求出其他的边和角，包括解的个数的讨论问题)例1.在△ABC中，已知c=10，A=45o，C=30o，求a,b和B.例2.在△ABC中，已知c=1,求a,A,C.3,60,bB例3.在△ABC中，已知a=2,求b和B,C.6,45,cA随堂练习1、正弦定理适用的范围是A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、任意三角形D2ABCa=8,B=60,C=75,b=32A42B43C46D3、在中，已知那么、、、、C3ABCa=23,b=22,B=45,A=A60120B60C30150D30、在中，已知那么、或、、或、AoABCa=3,b=2,B=45,例：在中，已知解此三角形。解：由正弦定理：ab323==sinA=.sinAsinBsinAsin452A=60120或A=60C=75A=120C=15bc2c6+2==c=2sin75=.sinBsinCsin45sin752bc2c6-2==c=2sin15=.sinBsinCsin45sin152为什么有两解的情况？A是锐角时知识归纳①已知两角及一边解三角形一定只有一解。②已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、baACBabsinA时无解。a=bsinA时一解absinA时若ba时两解，b≦a时一解BaA为直角或钝角时abABCabABCab时有一解，一解或两解。a≦b时无解。4、在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的___条件。A、充分不必要B、必要不充分C、充分必要D、不充分也不必要C5、在△ABC中，a=18,b=20,A=150o,则满足此条件的三角形的个数是A、0B、1C、2D、无数个AsinAcosB6ABC=,BabA30B45C60D90、在中，若那么的值是、、、、B得由正弦定理令解,,sinkAa,.sin,sin,sin代入已知条件CkcBkbAka,cossincossincossinCCBBAA得.tantantanCBA即ABCCBACBA从而所以又,,,,,0.为正三角形CcoscBcosbAcosa例4在三角形ABC中已知试判断三角形ABC的形状．π-ββααDABC.,,,DCBDACABBACADABC用正弦定理证明的平分线是中在如图例5,,,CADBDABAD则设解中分别运用正和在ACDABDCDA..sinsinsinsin,sinsin,DCACBDAB得弦定理.,DCBDACABDCACBDAB即所以7ABC3a=2bsinA,B25ABCD363366、在中，若那么的值是、、、或、或C9ABCAC=3A=45C=75BC=_____、在中，，，，那么210ABCa+b=12,A=60,B=45,a=___________,b=__________、在中，那么36-126126-2411ABCA:B:C=1:2:3,a:b:c=_______、在中，若那么132：：12ABCb=3,c=33,B=30a=_______、在中，已知那么3或6课堂小结：2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABC作用：1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角3）可以进行边角之间的互化。注意：已知两边和其中一边的对角，求解三角形时,要注意解的取舍。的外接圆的半径是ABCR2ABCb=12,A=30,B=45,例、在中，已知三角形，并求出它的外接圆半径。解这个bb12=2RR===62sinB2sinB2sin45解：又A=30o,B=45o,所以C=105o2+6sinC=sin105=sin60+45=4bsinA12sin30a===62sinBsin45由正弦定理bsinC12sin105c===61+3sinBsin45例3、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的作出解答。1a=7,b=8,A=105;2a=23,b=6,A=301a=7,b=8,ab,A=10590,解：本题无解。2a=23,b=8,ab,A=3090bsinA=6sin30=3absinA,又本题有两解。bsinA6sin303sinB===a223由正弦定理得B=60o或120o,asinC23sin90c===43sinAsin30当B=60o时，C=90o.当B=120o时，C=30o.asinC23sin30c===23sinAsin30B=60C=90c=43B=120,C=30,c=23，，或4ABCa=2,b=3,A=45,BCc例、在中，已知求、及ab=,sinAsinB解：由正弦定理得bsinA3323sinB==sin45==,a2222∵ba,∴BA=45o,∴有两解B=60o或120o1)当B=60o时，C=75o,asinC2sin756+2c===,sinAsin4522)当B=120o时，C=15o,asinC2sin156-2c===,sinAsin452（例2变式）为锐角，试判断此三角形的形状。例5、在△ABC中，如果lga-lgc=lgsinB=-lg,且B22lgsinB=-lg2sinB=B=452解：a2sinA2lga-lgc=-lg2==c2sinC2由2sin135-C=2sinC2sin135cosC-cos135sinC=2sinC2cosC+2sinC=2sinCcosC=0C=90所以此三角形为等腰直角三角形226ABCtanA:tanB=a:b,ABC例、在中，若判定的形状。222222asinAsinAcosBsinA==bsinBcosAsinBsinB解：由正弦定理得cosBsinA=sinBcosB=sinAcosAcosAsinBsin2B=sin2A2A=2B2A+2B=或A=BA+B=2或所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形。练习：（1）在中，一定成立的等式是（）ABCBbAaAsinsin.　BbAaBcoscos.　AbBaCsinsin.　AbBaDcoscos.　CABC（2）在中，若，则是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三有形2cos2cos2cosCcBbAaABCD正弦定理练习：（3）在任一中，求证：ABC0)sin(sin)sin(sin)sin(sinBAcACbCBa证明：由于正弦定理：令CkcBkBAkasin,sin,sin左边＝代入左边得：)sinsinsinsinsinsinBCACABCBCABAksinsinsinsinsin(sin∴等式成立=右边0正弦定理1.coscos,ABCbAaB（1）在中，判断三角形的形状．1,2,30,oABCabAB２．已知中，求ABC（2）在中，若，则的形状．2cos2cos2cosCcBbAaABC