2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件：3-3-立体几何

第3讲立体几何热点调研立体几何大题处于解答题第2或第3题的位置，属于得分题．立体几何常见的类型主要有：①考查线线、线面、面面关系的证明，此类题目常以解答题的第一问出现；②计算几何体的体积此类题目常以解答题的第二问出现．常见几何体为柱、锥、台等或者它们的组合体.调研一线、面平行(2016·新课标全国Ⅲ)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求四面体N－BCM的体积．【解析】(1)证明：由已知得AM＝23AD＝2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝12BC＝2.(3分)又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(6分)(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为12PA.(9分)取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝AB2－BE2＝5.由AM∥BC得M到BC的距离为5.故S△BCM＝12×4×5＝25.所以四面体N－BCM的体积VN－BCM＝13·S△BCM·PA2＝453.(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2，BC＝3.(1)求证：AB1∥平面BC1D；(2)求四棱锥B－AA1C1D的体积．【解析】(1)如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线．∴OD∥AB1.∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.(2)∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C.作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C.在Rt△ABC中，AC＝AB2＋AC2＝13.BE＝AB·BCAC＝613.∴四棱锥B－AA1C1D的体积V＝13×12(A1C1＋AD)·AA1·BE＝16×3213×2×613＝3.1．证线面平行的方法．(1)判定定理：线线平行⇒线面平行．(2)面面平行的性质．无论用哪一种方法，一定要与定理或性质相符合．尤其是证明的三句话！2．熟记体积公式，不能用错，等体积可以求高.调研二线、面垂直(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.【证明】(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.(2016·河南三市第一次调研)将棱长为a的正方体按照图①所示截去一半得到如图②所示的几何体，点E，F分别是BC，DC的中点．(1)证明：AF⊥ED1；(2)求三棱锥E－AFD1的体积．解析(1)证明：如图所示，连接DE，交AF于点O.∵DD1⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，∴D1D⊥AF.∵点E，F分别是BC，DC的中点，∴DF＝CE.又∵AD＝DC，∠ADF＝∠DCE＝90°，∴△ADF≌△DCE.∴∠AFD＝∠DEC.又∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CDE＋∠AFD＝90°，∴∠DOF＝180°－(∠CDE＋∠AFD)＝90°即AF⊥DE.又D1D∩DE＝D，∴AF⊥平面D1DE.又∵ED1⊂平面D1DE，∴AF⊥ED1.(2)∵D1D⊥平面ABCD，∴D1D是三棱锥D1－AEF的高，且D1D＝a.∵点E，F分别是BC，DC的中点，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADF－S△FCE－S△ABE＝a2－12·AD·DF－12·CF·CE－12·AB·BE＝a2－a24－a28－a24＝3a28.∴VE－AFD1＝VD1－AEF＝13·S△AEF·D1D＝13·3a28·a＝a38.1．证明线面垂直的方法有：①定义；②判定定理；③若a∥b，a⊥α，则b⊥α；④若α∥β，a⊥α，则a⊥β；⑤若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β.2．证线线垂直的方法有：①成角90°；②线面垂直；③若a∥b，a⊥c，则b⊥c.3．无论证何种垂直，尤其要注意最后几句话，一定要符合判定定理．调研三求体积(2016·辽宁东北育才学校)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是C1C上一点．(1)当CF＝2时，求证：B1F⊥平面ADF；(2)若FD⊥B1D，求三棱锥B1－ADF的体积．【解析】(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B.∵BC∩B1B＝B，∴AD⊥平面B1BCC1.∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F.在矩形B1BCC1中，∵C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1.∴∠CFD＝∠C1B1F，则易知∠B1FD＝90°，∴B1F⊥FD.∵AD∩FD＝D，∴B1F⊥平面ADF.(2)由(1)知AD⊥平面B1DF，由题意知AD＝22，B1D＝10，CD＝1.∵FD⊥B1D，∴易证Rt△CDF∽Rt△BB1D，∴DFB1D＝CDBB1.∴DF＝13×10＝103，∴VB1－ADF＝VA－B1DF＝13S△B1DF·AD＝13×12×103×10×22＝1029.(2016·山东文登统考)如图所示，已知在四棱锥P－ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，BC⊥PC，且AD＝DC＝PA＝12AB＝a.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由；(3)若点M是由(2)中确定的，且PA⊥AB，求四面体MPAC的体积．【解析】(1)证明：过点C作CE⊥AB，垂足为E.已知在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AD＝DC，∴四边形ADCE是正方形．∴∠ACD＝∠ACE＝45°.又∵AE＝CD＝12AB，∴BE＝AE＝CE.∴∠BCE＝45°.∴∠ACB＝90°.∴AC⊥BC.又∵BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥平面PAC.(2)解：当M为PB中点时，CM∥平面PAD.证明如下：取AP的中点F，连接CM，FM，DF，则FM∥AB，且FM＝12AB.∵CD∥AB，CD＝12AB，∴FM∥CD，FM＝CD.∴四边形CDFM为平行四边形，∴CM∥DF.∵DF⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.(3)解：由(1)知，BC⊥平面PAC，M为PB的中点，所以点M到平面PAC的距离等于12BC，VM－PAC＝12VB－PAC.在△BPA中，∵PA⊥AB，∴PB＝5a.在△BCP中，BC＝2a，PC＝3a.在△PAC中，PC＝3a，AC＝2a，PA＝a，∴△PAC是直角三角形，其面积S＝12a·2a＝22a2，VM－PAC＝12VB－PAC＝16·BC·S△PAC＝16×2a×2a22＝16a3.1．体积的计算在立体几何中占有很重要的位置．2．对于规则体，熟记各种体积公式；对于不规则体则采用割、补法进行拼接，使之成为规则体．3．三棱锥可以进行体积转换：VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC.4．V多面体＝13·S表·r内切球．调研四翻折问题(2016·贵州适应性考试)已知长方形ABCD中，AB＝1，AD＝2.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A－BCD，如图所示．试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由．【解析】若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC.即AB2＋a2＝BC2，即12＋a2＝(2)2，所以a＝1.若AD⊥BC，又因AB⊥AD，AB∩BC＝B，所以AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC.即AD2＋a2＝CD2，即(2)2＋a2＝12，所以a2＝－1，无解．故AD⊥BC不成立．(2016·福州五校联考)已知在边长为4的等边△ABC(如图1所示)中，MN∥BC，E为BC的中点，连接AE交MN于点F.现将△AMN沿MN折起，使得平面AMN⊥平面MNCB(如图2所示)．求证：平面ABC⊥平面AEF.【解析】∵△ABC是等边三角形，E为BC的中点，∴AE⊥BC，∵MN∥BC，∴AF⊥MN，MN⊥EF.又AF∩FE＝F，∴MN⊥平面AEF.∵BC∥MN，∴BC⊥平面AEF，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面AEF.(1)翻折问题也是立体几何中的常见题型，能够很好地考查由平面到空间的转化能力，多为解答题．(2)解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．(3)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中去解决．1．如图，矩形A1A2A′2A′1满足B，C在A1A2上，B′，C′在A′1A′2上且BB′∥CC′∥A1A′1，沿BB′，CC′将矩形A1A2A′2A′1折起成为一个直三棱柱(如图所示)，使A1与A2，A′1与A′2重合后分别记为A，A′，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.思路本题主要考查线面平行的判定定理，意在考查考生对空间中的基本定理的掌握情况以及逻辑推理能力与计算能力．解析连接AB′，AC′，∵四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，又点N为B′C′的中点，∴MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′且AC′⊂平面A′ACC′，∴MN∥平面A′ACC′.2．(2016·广东梅州质检)在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2(如图(1))，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连接A1B，A1P(如图(2))．(1)求证：FP∥平面A1EB；(2)求证：A1E⊥平面BEP.解析(1)证明：在题图(1)中，∵CP∶PB＝CF∶FA，∴FP∥BE.在题图(2)中，∵FP∥BE，BE⊂平面A1EB，FP⊄平面A1EB，∴FP∥平面A1EB.(2)证明：不妨设正三角形ABC的边长为3.在题图(1)中，取BE的中点D，连接DF.∵AE∶EB＝CF∶FA＝1∶2，∴AF＝AD＝2.而∠A＝60°，∴△ADF是正三角形．又AE＝DE＝1，∴EF⊥AD.在题图(2)中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE.又BE，EF⊂平面BEF，BE∩EF＝E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP.请做：立体几何专练·作业（二十）-（二十一）