导数与三次函数问题有答案

导数与三次函数问题★知识梳理★一、定义：、形如32(0)yaxbxcxda的函数，称为“三次函数”三次函数的导数232(0)yaxbxca，2412bac叫做三次函数导函数的判别式。二、三次函数图象与性质1.三次函数32()(0)fxaxbxcxda图象a0a00000图象2．函数32()(0)fxaxbxcxda单调性、极值点个数情况。'()fx=232axbxc，记=224124(3)bacbac，（其中x1,x2是方程'()fx=0的根，且x1x2）a0a00000单调性在12(,),(,)xx上,是增函数；在12(,)xx上,是减函数；在R上是增函数在12(,)xx上，是增函数；在12(,),(,)xx上，是减函数；在R上是减函数极值点个数20203、三次函数最值问题。函数若，且，则：max0,,fxfmfxfn；。4、三次方程根的问题。（三次函数的零点问题）三次函数)0()(23adcxbxaxxf(1)若032acb，则0)(xf恰有一个实根；(2)若032acb,且0)()(21xfxf，则0)(xf恰有一个实根；(3)若032acb,且0)()(21xfxf，则0)(xf有两个不相等的实根；x1x2xx0xx1x2xx0x(4)若032acb,且0)()(21xfxf，则0)(xf有三个不相等的实根.5、对称中心。三次函数)0()(23adcxbxaxxf是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(abfab，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。.C★典型考题★1.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（A）A.b∈（-∞，0）B.b∈（0，1）C.b∈（1，2）D.b∈（2，+∞）2.如图，函数y＝f（x）的图象如下，则函数f（x）的解析式可以为（A）Ａ）f（x）＝（x－a）2（b－x）Ｂ）f（x）＝（x－a）2（x＋b）Ｃ）f（x）＝－（x－a）2（x＋b）Ｄ）f（x）＝（x－b）2（x－a）3.设＜b,函数的图像可能是（C）4．已知函数，当(,0)(5,)k时，只有一个实数根；当(0,5),()0kfxk时有3个相异实根，现给出下列4个命题：①函数有2个极值点；②函数()fx有3个极值点；③方程()5fx的根小于()0fx的任意实根；④()0fx和()0fx有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（C）。A．1B．2C．3D．45、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（C）a2()()yxaxb),,()(23为常数dcbdcxbxxxf0)(kxf)(xfA.1，－1B.1，－17C.3，－17D.9，－196.函数f（x）=x3/3+ax2/2+ax-2（a∈Ｒ）在(-∞,+∞)上为单调增函数，求实数a的取值范围是——————。a∈[0，4]7.已知函数f（x）＝x３/3－（４m－１）x２＋（１５m２－２m－７）x＋２在实数集Ｒ上是增函数，求实数m的取值范围。解：∵y＝f（x）在Ｒ上是单调增函数∴f´（x）＝x２－２（４m－１）x＋１５m２－２m－７≥０在Ｒ上恒成立，Δ=…=m２－６m＋８≤０得２≤m≤４8.已知曲线y＝x3/3＋4/3，求曲线在点（２，４）处的切线方程解：f´（x）＝x2，f´（２）＝４，曲线在点（２，４）处的切线斜率为k＝f´（２）＝４∴代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y－４＝４（x－２），即y＝４x－４变式：已知曲线y＝x3/3＋4/3，则曲线过点（２，４）的切线方程——————。错解：依上题，直接填上答案４x－y－４＝０错因剖析：如下图所示，在曲线上的点A处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。点（２，４）在曲线y＝x3/3＋4/3上，它可以是切点也可以不是。正确解法：设过点（２，４）的切线对应的切点为（x0，x03/3＋4/3），斜率为k=x02，切线方程为y-（x03/3＋4/3）=x02（x-x0）即y=x02x-2x03/3+4/3点（2，4）的坐标代入，得4=2x02-2x03/3+4/3，2x03-6x02+8=0，∴x03-3x02+4=0，又∵x03+1-（3x02-3）=0（x0+1）（x02-x0+1）-3（x0-1）（x0+1）=0∴（x0+1）（x02-4x0+4）=0∴x0=-1或x0=2∴切线的方程为4x-4-y=0或x-y+2=0点评：一个是“在点（2，4）”、一个是“过点（2，4）”，一字之差所得结果截然不同。9、已知函数33fxxx⑴求函数fx的单调区间及极值；⑵求fx在0,3上的最值。解：令2123301,1fxxxxx、fx、fx的变化情况如下表x,1－1（－1，1）11,fx＋0－0＋fx极大值极小值∴fx的单调递增区间是,1和1,fx的单调递减区间是1,1当1x时，fx有极大值311312f当1x时，fx有极小值311312f⑵00f，3333318f∵fx在0,3上只有一个极值点12f∴fx在0,3上的最小值为－2，最大值为18变式一、已知函数3233fxxxx，其他不变解：22363310fxxxx∴fx在,单调递增，fx没有极值fx在0,3上的最小值为00f，最大值为363f变式二、已知函数323fxxxx；其他不变解：2323fxxx△22433200∴0fx没有实数根∴0fx在R上恒成立∴fx在,上单调递增，fx没有极值fx在0,3上的最小值为00f，最大值为345f变式三、已知函数1yt，323yxx，实数t为何值时，函数1y与2y的图象的交点有一个、二个、三个？解：由例1画出函数2y的大致图象如图，观察图象，可得当2t或2t时，函数1y与2y只有一个交点。当2t或2t时，函数1y与2y有二个交点。当22t时，函数1y与2y有三个交点。变式四、a为何值时，函数3()3fxxxa有一个零点？两个零点？三个零点？解：令2123301,1fxxxxx、fx、()fx的变化情况如下表x,1－1（－1，1）11,fx＋0－0＋()fx极大值极小值∴()fx的单调递增区间是,1和1,()fx的单调递减区间是1,1当1x时，fx有极大值311312faa当1x时，fx有极小值311312faa要使()fx有一个零点，需且只需2020aa，解得2a要使()fx有二个零点，需且只需2020aa，解得2a要使()fx有三个零点，需且只需2020aa，解得22a1Oyx2－2－1变式五、已知函数33,0fxxxa，如果过点,2Aa可作曲线yfx的三条切线，求a的取值范围解：设切点为00,xy，则233fxx∴切线方程000yyfxxx即2300332yxxx∵切线过点A,2a∴23002332xax即320023320xaxa∵过点,2Aa可作yfx的三条切线∴方程有三个相异的实数根设320002332gxxaxa，则200000666gxxaxxxa当0x变化时，0gx、0gx的变化情况如下表0x,000,aa,a0gx＋0－0＋0gx极大值32a极小值332aa由单调性知：①若极大值320a或极小值3320aa，方程00gx只有一个实数根；②若320a或3320aa，方程00gx只有两个相异的实数根，综上，要使方程00gx有三个相异的实根，须且只须32320233202aaaaaa，所以，所求的a的取值范围是2,。变式六、已知函数3213fxxxaxaaR，若函数fx的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围。解：∵22fxxxa∴4441aa①若1a，则0∴0fx在R上恒成立∴fx在R上单调递增∵00fa320fa∴当1a时，函数fx的图象与x有且只有一个交点。②若1a，则0∴0fx有两个不相等的实根，不妨设为1x、2x且12xx，则12122xxxxa当x变化时，fx、fx的取值变化情况如下表x1,x1x12,xx2x2,xfx＋0－0＋fx极大值1fx极小值2fx∵21120xxa∴2112axx∴32111113fxxxaxa32211111123xxaxxx311123xax2111323xxa同理22221323fxxxa∴22121212132329fxfxxxxaxa2222121212132929xxxxaxxa22212121322929aaaxxxxa224433339924aaaaa令120fxfx，解得0a当01a时，00fa，320fa∴当01a时，函数fx的图象与x轴有且只有一个交点∴fx的大致图象如图所示：综上所述，a的取值范围是0,－ayx3x2x1y=f(x)综合练习题1、已知函数32fxaxbxcx在点0x处取得极大值5，其导函数yfx的图象经过点1,0，2,0；如图所示，求：⑴0x的值；⑵a、b、c的值。（2006北京）解：⑴由数形结合可知当12x时，0fx；∴fx在1,2上递减当1x或2x，0fx，∴fx在,1和2,上递增∴当01xx时，fx有极大值⑵解法一、232fxaxbxc由已知，得13202124015fabcfabcfabc解得2912abc解法二、由数形结合可设21232fxmxxmxmxm又232fxaxbxc∴33332222mamambbmmccm由155fabcOyx12∴32532mmm6m∴23ma，39,2122mbcm2、若函数32111132fxxaxax在区域1,4内为减函数，在区间6,上为增函数，试求实数a的取值范围。（2004全国卷）解：21fxxaxa令0fx解得11x，21xa①当11a即2a时，fx在1,上为增函数，不合题意②当11a即2a时，函数fx在,1上为增函数，在1,1a内为减函数，在1,a上为增函数，依题意应有：当1,4x时，0fx