一元一次方程知识点及经典例题

1一、知识要点梳理知识点一：方程和方程的解1.方程：含有_____________的______叫方程注意：a.必须是等式b.必须含有未知数。易错点：（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。考法：判断是不是方程：例：下列式子：(1).8-7=1+0(2).1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程．2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果，那么；(c为一个数或一个式子)。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果，那么；如果，那么要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。即：（其中m≠0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为：－=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤变形步骤具体方法变形根据注意事项去分母方程两边都乘以各个分母的最小公倍数等式性质21．不能漏乘不含分母的项；2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号2去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号乘法分配律、去括号法则1．分配律应满足分配到每一项2．注意符号，特别是去掉括号移项把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边等式性质11．移项要变号；2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边合并同类项把方程中的同类项分别合并，化成“bax”的形式（0a）合并同类项法则合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变未知数的系数化成“1”方程两边同除以未知数的系数a，得abx等式性质2分子、分母不能颠倒要点诠释：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:①a≠0时，方程有唯一解；②a=0，b=0时，方程有无数个解；③a=0，b≠0时，方程无解。牛刀小试例1、解方程（1）y-52221yy例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程104xx的解与方程522xm的解相同，求m的值.3二、经典例题透析类型一：一元一次方程的相关概念1、已知下列各式：①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。其中方程的个数是()A、5B、6C、7D、8举一反三：[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：（1）-2x2+3=x（2）3x-1=2y（3）x+=2（4）2x2-1=1-2(2x-x2)[变式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。[变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是()A．－5B．5C．7D．2类型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。1．巧凑整数解方程：2、举一反三：[变式]解方程举一反三：[变式]（2011山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。解：原方程可变形为(__________________________)去分母，得3（3x+5）=2(2x-1).(__________________________)去括号，得9x+15=4x-2.（____________________________）(____________________),得9x-4x=-15-2.(____________________________)合并，得5x=-17.(合并同类项)（____________________）,得x=.（_________________________）46．巧组合解方程：7、8．利用整体思想解方程：9、思路点拨：因为含有的项均在“”中，所以我们可以将作为一个整体，先求出整体的值，进而再求的值。三、课堂练习一、选择题1、已知下列方程：（1）x-2=x3;(2)0.3x=1;(3)2x=5x-1;(4)x2-4x=3;(5)x=0;(6)x+2y=0.其中一元一次方程的个数是（）A2B3C4D52、下列四组变形中，正确的是（）A由5x+7=0,得5x=-7B由2x-3=0,得2x-3+3=0C由6x=2,得x=31D由5x=7,得x=353、一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头2小时可把空池灌满；单独开乙水龙头3小时可把空池灌满，若同时开放两个水龙头，灌满空池需（）A56小时B65小时C2小时D3小时4、下列方程中，是由方程7x-8=x+3变形而得到的是（）A7x=x+5B7x+5=xC6x=11D-8+3=-6x5、下列方程的变形中，是移项的是（）A由3=25x，得25x=3B由6x=3+5x，得6x=5x+35C由2x=-1，得x=-21D由2x-3=x+5，得2x-x=5+36、方程6x=3+5x的解为（）Ax=2Bx=3Cx=-2Dx=-37、方程4(a-x)-4(x+1)=60的解是x=-1，则a为（）A-14B20C14D-168、动物园的门票售价：成人50元／张，儿童30元／张。某日动物园售出门票700张，共得29000元。设儿童票售出x张，依题意可列出下列哪个一元一次方程（）A、30x+50(700-x)=29000B、50x+30(700-x)=29000C、30x+50(700+x)=29000D、50x+30(700+x)=290009、解方程31x-24x=1，去分母正确的是（）A2(X-1)-3(4X-1)=1B2X-1-12+X=1C2(X-1)-3(4-X)=6D2X-2-12-3X=610、如果615x-2的倒数是3，那么x的值是（）A、-3B、-1C、1D、311、超市同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，其中一台盈利20％，另一台亏本20％，则这次出售中商场（）A不赔不赚B赚160元C赚80元D赔80元12、笼中有鸡兔共12只，共40条腿，设鸡有X只，根据题意，可列方程为（）A2(12-X)+4X=40B4(12-X)+2X=40C2X+4X=40D240-4(20-X)=X12、已知下列方程：①22xx；②0.31x；③512xx；④243xx；6⑤6x；⑥20xy．其中一元一次方程的个数是（）．A．2B．3C．4D．513、已知关于x的方程5(21)axax的解是1x，则a的值是（）．A．-5B．-6C．-7D．814、方程3521xx移项后，正确的是（）．A．3251xxB．3215xxC．3215xxD．3215xx15、方程2412332xx，去分母得（）．A．22(24)33(1)xxB．123(24)183(1)xxC．12(24)18(1)xxD．62(24)9(1)xx16、甲、乙两人骑自行车同时从相距65km的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2．5km，则乙的时速是（）．A．12．5kmB．15kmC．17．5kmD．20km17、某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25％，另一件赔25％，那么这两件衣服售出后商店是（）．A．不赚不赔B．赚8元C．亏8元D．赚15元二、填空题：1、圆的周长为4，半径为x,列出方程为。2、已知方程（m-2）x1m+5=9是关于x的一元一次方程，则m=.3、已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是。4、3a32mb4与2am6b4是同类项，则m=.5、若yx+（y+1）2=0,则x-y=.6、某商品的进价为250元，为了减少库存，决定每件商品按标价打8折销售，结果每件商品仍获利10元，那么原来标价为。7、当x=时，1528x的值是0.78、7.1班发作业本，若每人发4本，则还余12本，若每人发5本，则还少18本，那么该班有名学生。9、使(1)60ax为关于x的一元一次方程的a＝______（写出一个你喜欢的数即可）．10、当m＝______时，式子273m的值是-3．11、若3122mxy与224nxy在某运算中可以合并，则_____m，_____n．12、设某数为x，根据下列条件列出方程：（1）某数的23比它的相反数大5．______________________________；（2）某数的13与12的差刚好等于这个数的2倍．________________________．13、某次数学竞赛共出了15道选择题，选对一题得4分，选错一题扣2分．若某同学得36分，他选对了________道题（不选算错）．14、某商场对某种商品作调价，按原价8折出售，此时商品的利润率为10％，此商品的进价是1000元，则商品的原价是________.15、某人将1000元存入银行，定期两年，若年利率为2.27％，则两年后利息为________元，若扣除20％的利息税，则实际得到的利息为________元，银行应付给该储户本息共____________元．三、解答题：1、解方程（1）6x-3(5x-2)=0(2)20-2x=x-1（3）412x=32x-2(4)2.04.0x-5.03x=28（5）(1)2(1)13xxx（6）321123xx（7）xx212（8）42312yy9四、家庭练习一、填空题：1、已知方程（a-2）x|a|-1=1是一元一次方程，则a=______，x=______．2、下列说法：①、等式是方程；②、x=4是方程5x+20=0的解；③、x=-4和x=6都是方程│x-1│=5的解．其中说法正确的是____．（填序号）3、已知代数式87x与62x的值互为相反数，那么x的值等于________4、如果方程______．5、三个连续奇数的和是75，则这三个数分别是__________。6、我校球类联赛期间买回排球和足球共16个，花去900元钱，已知排球每个42元，足球每个80元，设排球买了x个。则可列程为，7、小慧在一张日历的一横列上圈了连续的四个数，它们的和为22，这四个数为8、数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分，不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分必须答对的题数是，9、自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过10吨，每吨按0.8元收费，超过10吨的部分按每吨1.5元收费，王老师三月份平均水费为每吨1.0元，则王老师家三月份用水_______吨.二、选择题：1、若a＝b，则下列式子正确的有（）①a－2＝b－2②13a＝12b③－34a＝－34b④5a－1＝5b－1．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2、下列变形中，正确的是A、若ac=bc，那么a=b。B、若cbca，那么a=bC、a＝b，那么a=b。D、若a2=b2那么a=b3、给出下面四个方程及其变形：①48020xx变形为；②xxx75342变形为；③253215xx变形为；④422xx变形为；其中变形正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③4、如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a=（）A.103B.310C.-103D.-310105、将方程