几何证明题的技巧

几何证明题的技巧1）证明线段相等，角相等的题，通常找到线段所在图形，证明全等2）隐藏条件：比如特殊图形的性质自己要清楚，有些时候几何题做不出来就是因为没有利用好隐藏条件3）辅助线起到关键作用4）几何证明步骤：依据—结论—定理切记勿忽略细微条件5）遇到面积问题，辅助线通常做高，遇到圆，多为做半径，切线6）个别题型做辅助线：1通过连结，延长，作垂直，作平行线等添加辅助线的方法，构造全等三角形。2遇到有中点条件时，常常延长中线（即倍长中线），或以中点为旋转中心，使分散的条件汇集起来。3遇到求边之间的和，差，倍数关系时，通常采用截长补短的方法，求角度之间的关系时，也一样。要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。2.同一三角形中等角对等边。3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。*12.两圆的内（外）公切线的长相等。13.等于同一线段的两条线段相等。二、证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。2.同一三角形中等边对等角。3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。8.相似三角形的对应角相等。*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等。三、证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的对角线互相垂直。*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。*11.利用半圆上的圆周角是直角。四、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。五、证明线段的和差倍分1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。六、证明角的和差倍分1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。2.利用角平分线的定义。3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。七、证明线段不等1.同一三角形中，大角对大边。2.垂线段最短。3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。6.全量大于它的任何一部分。八、证明两角的不等1.同一三角形中，大边对大角。2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。*4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。5.全量大于它的任何一部分。九、证明比例式或等积式1.利用相似三角形对应线段成比例。2.利用内外角平分线定理。3.平行线截线段成比例。4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。*5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。6.利用比利式或等积式化得。十、证明四点共圆*1.对角互补的四边形的顶点共圆。*2.外角等于内对角的四边形内接于圆。*3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。*4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。*5.到顶点距离相等的各点共圆基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。常见的辅助线做法1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。所谓“倍长中线”，就是加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。说简单一点，倍长中线就是指：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，构造全等三角形。截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边截长:1.过某一点作长边的垂线2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短:1.延长短边2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。