北京高考近5年三角、数列考题

12017数列（2017年文科数列1道大题）（2017年理科数列1小题、1大题）2017年北京高考文科第15题15.已知等差数列和等比数列满足，，．（1）求的通项公式；（2）求和：．15.（1）等差数列，，，可得：，解得，所以的通项公式：．（2）由（Ⅰ）可得，等比数列满足，，可得（等比数列奇数项符号相同），所以，是等比数列，公比为，首项为，．2017年北京高考理科第10题（10）若等差数列na和等比数列nb满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则22ab=_______.【答案】1【解析】322131383,211(2)adqdqb2017年北京高考理科第20题20.设和是两个等差数列，记，其中表示，，，这个数中最大的数．（1）若，，求，，的值，并证明是等差数列；（2）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得，，，是等差数列．20.（1），，，，，，当时，，当时，，2当时，，下面证明：对，且，都有，当，且时，则由，且，则，则，因此，对，且，，，又，所以对均成立，所以数列是等差数列．（2）设数列和的公差分别为，，下面考虑的取值，由，，，，考虑其中任意（，且），则下面分，，三种情况进行讨论，①若，则，当，，则对于给定的正整数而言，，此时，所以数列是等差数列；当，，则对于给定的正整数而言，，此时，所以数列是等差数列；此时取，则，，，是等差数列，命题成立；②若，则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数，故必存在，使得时，，则当时，3因此当时，，此时，故数列从第项开始为等差数列，命题成立；③若，此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数，故必存在，使得时，，则当时，因此，当时，，此时令，，，下面证明：对任意正整数，存在正整数，使得，，若，取，表示不大于的最大整数，当时，此时命题成立；若，取，当时，4此时命题成立，因此对任意正数，存在正整数，使得当时，；综合以上三种情况，命题得证．2017三角（2017文科一小题一大题）（2017理科一小题一大题）2017年北京高考文科第9题9.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则．9.2017年北京高考文科第16题16.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求证：当时，16.（1）所以，所以的最小正周期为．（2）因为，5所以，所以，所以．2017年北京高考理科第12题（12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin3，cos()=___________.【答案】79【解析】2227sinsin,coscoscos()coscossinsincossin2sin192017年北京高考理科第15题（15）（本小题13分）在△ABC中，A=60°，c=37a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.【答案】（1）根据正弦定理×sin33333=sin==sin60==sinsin77214。acCACACa（2）当=7a时3==37ca，sin=3314C＜ca，3cossin1421CC△ABC中sin=sin[π-(+)]=sin(+)BACACsincoscossin=AC+AC33133=+21421433=141139S=sin=733322144△=ABCacB62016数列（2016文科一大题）（2016理科一小题一大题）2016年北京高考文科第15题15.已知是等差数列，是等比数列，且，，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．15.（1）等比数列的公比，所以，．设等差数列的公差为．因为，，所以，即．所以．（2）由（1）知，，．因此．从而数列的前项和2016年北京高考理科第12题12.已知为等差数列，为其前项和，若，，则．12.【解析】为等差数列，，所以，，解得．所以．2016年北京高考理科第20题20.设数列：，，，．如果对小于的每个正整数都有，则称是数列的一个“时刻”．记是数列的所有“时刻”组成的集合．（1）对数列：，，，，，写出的所有元素；（2）证明：若数列中存在使得，则；（3）证明：若数列满足，则的元素个数不小于．720.（1）的元素为和．（2）因为存在使得，所以．记，则，且对任意正整数，．因此．从而．（3）当时，结论成立．以下设．由（2）知．设，．记，则．对，记．如果，取，则对任何，．从而且．又因为是中的最大元素，所以．从而对任意，，特别地，．对，．因此．所以．因此的元素个数不小于．2016三角（2016文科一小题一大题）（2016理科一小题一大题）2016年北京高考文科第13题13.在中，，，则．13.8【解析】在中，由正弦定理知，又，，所以，解得，又为锐角，所以，，所以．2016年北京高考文科第16题16.已知函数的最小正周期为．（1）求的值；（2）求的单调递增区间．16.（1）因为，.所以．（2）由可知，，，，．所以单调递增区间是．2016年北京高考理科第7题7.将函数图象上的点向左平移个单位长度得到点．若位于函数的图象上，则A.，的最小值为B.，的最小值为C.，的最小值为D.，的最小值为7.A【解析】因为点在的图象上，所以．9点向左平移个单位长度得到．因为在的图象上，所以．所以，所以．又，所以．2016年北京高考理科第15题15.在中，．（1）求的大小；（2）求的最大值．15.（1）因为，所以，所以．（2）在中，，所以当时，的最大值为．2015数列（2015文科一大题）（2015理科一小题一大题）2015年北京高考文科第16题16.已知等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等?16.（1）设等差数列的公差为．因为，所以．又因为，所以，故．10所以（）．（2）设等比数列的公比为，因为，，所以，，所以．由得，所以与数列的第项相等．2015年北京高考理科第6题6.设是等差数列，下列结论中正确的是A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6.C【解析】数列是等差数列，如数列，满足，则；如数列，满足，则；所以A，B不正确；对于等差数列，所以D不正确；等差数列若，则数列是单调递增数列，有，所以C正确．2015年北京高考理科第20题20.已知数列满足：，，且记集合．（1）若，写出集合的所有元素；（2）若集合存在一个元素是的倍数，证明：的所有元素都是的倍数；（3）求集合的元素个数的最大值．20.（1），，．（2）因为集合存在一个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数．由可归纳证明对任意，是的倍数．如果，则的所有元素都是的倍数．如果，因为或，所以是的倍数，于是是的倍数．类似可得，，都是的倍数．11从而对任意，是的倍数，因此的所有元素都是的倍数．综上，若集合存在一个元素是的倍数，则的所有元素都是的倍数．（3）由，可归纳证明（）．因为是正整数，所以是的倍数．从而当时，是的倍数．如果是的倍数，由（2）知对所有正整数，是的倍数．因此当时，，这时的元素个数不超过．如果不是的倍数，由（2）知对所有正整数，不是的倍数．因此当时，，这时的元素个数不超过．当时，有个元素．综上可知，集合的元素个数的最大值为．2015三角（2015文科一小题一大题）（2015理科一小题一大题）2015年北京高考文科第11题11.在中，，，，则．11.2015年北京高考文科第15题15.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最小值．15.（1）因为，所以的最小正周期为．（2）因为，所以．当，即时，取得最小值．所以在区间上的最小值为．122015年北京高考理科第12题12.在中，，，，则．12.【解析】因为中，，，，所以，，所以，，所以．2015年北京高考理科第15题15.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最小值．15.（1）由题意得，所以的最小正周期为．（2）因为，所以．当，即时，取得最小值．所以在区间上的最小值为．2014数列（2014文科一大题）（2015理科两小题一大题）2014年北京高考文科第15题15.已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．15.（1）设等差数列的公差为，由题意得：13所以设等比数列的公比为，由题意得：解得．所以从而（2）由（1）知，数列的前项和为，数列的前项和为所以数列的前项和为2014年北京高考理科第5题5.设是公比为的等比数列，则“”是为递增数列的A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.D2014年北京高考理科第12题12.若等差数列满足，，则当时，的前项和最大．12.【解析】根据等差数列的性质，得，，于是，，即，，故为的前项和中的最大值．2014年北京高考理科第20题1420.对于数对序列，记，，其中表示和两个数中最大的数．（1）对于数对序列，，求，的值；（2）记为四个数中最小值，对于由两个数对，组成的数对序列，和，，试分别对和时两种情况比较和的大小；（3）在由个数对，，，，组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值．（只需写出结论）20.（1）（2）当时，因为是中最小的数，所以，从而当时，因为是中最小的数，所以，从而综上，这两种情况下都有．（3）数对序列（不唯一）对应的最小，此时．152014三角（2014文科一小题一大题）（2014理科一小题一大题）2014年北京高考文科第12题12.在中，，，，则；．12.，2014年北京高考文科第16题16.函数的部分图象如图所示．（1）写出的最小正周期及图中，的值；（2）求在区间上的最大值和最小值．16.（1）的最小正周期为，，．（2）因为，所以于是，当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值．2014年北京高考理科第14题14.设函数（，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为．14.【解析】记的最小正周期为．由题意知，又，且，16可作出示意图如图所示（一种情况）：所以，，所以，所以．2014年北京高考理科第15题15.如图，在中，，，点在上，且，．（1）求；（2）求的长．15.（1）因为所以（2）在中，17即解得在中，所以．2013数列（2013文科一小题一大题）（2013理科一小题一大题）2013年北京高考文科第11题11.若等比数列满足，，则公比；前项和．11.，2013年北京高考文科第20题20.给定数列，，，，对，，，，该数列前项的最大值记为，后项，，，的最小值记为，．（1）设数列为，，，，写出，，的值；（2）设，，，是公比大于的等比数列，且，证明：，，，是等比数列；（3）设，，，是公差大于的等差数列，且，证明：，，，是等差数列．20.（1），，．（2）因为，公比，所以，，，是递增数列．因此，对，，，，，．故，，，，因此，且，即，，，是等比数列．（3）设为，，，的公差．对，因为，，所以18又因为，所以从而，，，是递增数列．因此又因为所以因此，所以所以因此对，，，都有即，，，是等差数列．2013年北京高考理科第10题10.若等比数列满足，，则公比；前项和．10.，2013年北京高考理科第20题20.已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，．（1）若为，是一个周期为的数列（即对任意），写出的值；（2）设是非负整数，证明：的充分必要条件为是公差为的等差数列；（3）证明：若，则的项只能是或者，且有无穷多项为．20.（1）．（2）（充分性）因为是公差为的等差数列，且，所以19因此（必要性）因为，所以又因为，所以于是，．因此即是公差为的等差数列．（3）因为，所以故对任意．假设中存在大于的项．设，并且对任意．又因为，所以于是，故与矛盾．所以对于任意，有，即非负整数列的各项只能为或因为对任意，所以．故因此对于任意正整数，存在满足，且，即数列有无穷多项为202013三角（2013文科一小题一大题）（2013理科一小题一大题）2013年北京高考文