2015北京朝阳高考二模数学理(含解析)

1北京市朝阳区2014—2015学年度第二学期高三综合练习2015．5数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合21Axx，集合(2)0Bxxx，则AB（）．A．12xxB．2xxC．02xxD．1xx≤，或2x≥2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）．A．7B．10C．66D．1663．设i为虚数单位，mR，“复数(1)mmi是纯虚数”是“1m”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知平面上三点A，B，C，满足6AB，8AC，10BC，则ABABBCCACAAB（）．A．48B．48C．100D．1005．已知函数ππ()2sin()25fxx，若对任意的实数x，总有12()()()fxfxfx≤≤，则12xx的最小值是（）．A．2B．4C．πD．2π26．已知双曲线22221(0xyaab，0)b与抛物线24yx有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若52PF，则双曲线的渐近线方程为（）．A．12yxB．2yxC．3yxD．33yx7．已知函数()2xxeefx，xR，若对任意π0,2，都有(sin)(1)0fmfm成立，则实数m的取值范围是（）．A．0,1B．0,2C．,1D．,18．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）．A．14B．38C．25D．12第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本小题共6小题，每小题5分，共30分．9．4113x展开式中含3x项的系数是__________．10．已知圆C的圆心在直线0xy上，且圆C与两条直线0xy和120xy都相切，则圆C的标准方程是__________．11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若2AM，60CBD，则AD__________．312．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为__________．13．已知点11(,1)Aa，22(,2)Aa，，(,n)(nN)nnAa都在函数13logyx的图像上，则数列na的通项公式为__________；设O为坐标原点，点(,0)()nnManN，则11OAM△，22OAM△，，nnOAM△中，面积的最大值是__________．14．设集合123(,,)2,0,2,1,2,3iAmmmmi，集合A中所有元素的个数为__________；集合A中满足条件“12325mmm≤≤”的元素个数为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．415．（本小题共13分）在梯形ABCD中，ABCD∥，2CD，120ADC，57cos14CAD．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．16．（本小题共13分）5某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．17．（本小题共14分）6如图，在直角梯形ABCD中，ABCD∥，90DAB，112ADDCAB．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面ABEF平面ABCD．（Ⅰ）求证：FABC；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线FD平面MNH，求MH的长．18．（本小题共13分）7已知点M为椭圆22:3412Cxy的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为14．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．19．（本小题共14分）8已知函数2()()xfxxae，aR．（Ⅰ）当0a时，求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数m，n，使()()fmfn成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数()fx有两个不同的极值点1x，2x，求证：212()()4efxfx．20．（本小题共13分）9已知数列1:nAa，2a，，(2,)nannN≥是正整数1，2，3，，n的一个全排列．若对每个2,3,,kn都有12kkaa或3，则称nA为H数列．（Ⅰ）写出满足55a的所有H数列5A；（Ⅱ）写出一个满足55(1,2,,403)kakk的H数列2015A的通项公式；（Ⅲ）在H数列2015A中，记5(1,2,,403)kkbak．若数列kb是公差为d的等差数列，求证：5d或5．北京市朝阳区2015年高三二模试卷参考答案及评分标准10高三数学（理科）一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ABBCACDB二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案427223318xy323913n162718三、解答题：15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）在ACD△中，因为57cos14CAD，所以21sin14CAD．由正弦定理得：sinACCDADCCAD，即32sin227sin2114CDADCACCAD．（Ⅱ）在ACD△中，由余弦定理得：22422cos120ACADAD，整理得22240ADAD，解得4AD（舍负）．过点D作DEAB于E，则DE为梯形ABCD的高．因为//ABCD，120ADC，所以60BAD．在直角ADE△中，sin6023DEAD．即梯形ABCD的高为23．16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题意可得：题ABC答卷数180300230抽出的答卷数352应分别从BC、题的答卷中抽出5份，2份．（Ⅱ）记事件M：被抽出的ABC、、三种答卷中分别再任取出1份，这3份答卷中恰有1份得优，可知只能C题答案为优，依题意1311355PM．（Ⅲ）由题意可知，B题答案得优的概率为13，显然被抽出的B题的答案中得优的份数X的可能取值为012345，，，，，，且153XB，．05051232033243PXC；14151280133243PXC；23251280233243PXC；32351240333243PXC；1141451210433243PXC；5055121533243PXC．随机变量X的分布列为：X012345P32243802438024340243102431243所以3280804010150123452432432432432432433EX．17．（本小题共14分）证明：（Ⅰ）由已知得90FAB，FAAB．因为平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF平面ABCDAB，所以FA平面ABCD，由于BC平面ABCD，所以FABC．（Ⅱ）由（1）知FA平面ABCD所以FAAB，FAAD．由已知DAAB，所以,,ADABAF两两垂直．以A为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为112ADDCAB，则020B，，，110C，，，100D，，，011E，，，所以110BC，，，011BE，，，设平面BCE的一个法向量,,nxyz．12所以00nBCnBE，即00xyyz．令1x，则1,1,1n．设直线BD与平面BCE所成角为，因为120BD，，，所以15sincos,15nBDnBDnBD．所以直线BD和平面BCE所成角的正弦值为1515．（Ⅲ）在A为原点的空间直角坐标系Axyz中，000A，，，100D，，，001F，，，020B，，，1102H，，．设01DMkkDF＜≤，即DMkDF．,0,DMkk，则1,0,Mkk，1,1,2MHkk，1,0,1FD．若FD平面MNH，则FDMH．即0FDMH．102kk．解得14k．则11144MH，，，324MH．18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）椭圆C的方程可化为22143xy，则2a，3b，1c．故离心率为12，焦点坐标为1,0，1,0．（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为ykxm，11,Axy，22,Bxy，则11ykxm，22ykxm．由223412ykxmxy得2223+484120kxkmxm．判别式222222=6443441248430kmkmkm＞．13所以122834kmxxk，212241234mxxk，因为直线MA与直线MB的斜率之积为14，所以12121224yyxx，所以1212422kxmkxmxx．化简得2212124142440kxxkmxxm，所以22222412841424403434mkmkkmmkk，化简得22280mkmk，即4mk或2mk．当4mk时，直线AB方程为4ykx，过定点4,0．4mk代入判别式大于零中，解得1122k＜＜．当2mk时，直线AB的方程为2ykx，过定点20M，，不符合题意．故直线AB过定点40，．19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当0a时，2xfxxe，22xfxexx．由22=0xexx，解得0x，2x．当,2x时，0fx＞，fx单调递增；当2,0x时，0fx＜，fx单调递减；当0,x时，0fx＞，fx单调递增．所以fx的单调增区间为,2,0,+，单调减区间为2,0．（Ⅱ）依题意即求使函数2xfxexa在1,2上不为单调函数的a的取值范围．22xfxexxa，设22gxxxa，则13ga，28ga．因为gx在1,2上为增函数．当130280gaga＜＞，即当38a＜＜时，函数gx在1,2上有且只有一个零点，设为0x，14当01,xx时，0gx＜，即0fx＜，fx为减函数；当0,2xx时，0gx＞，即0fx＞，fx为增函数，满足在1,2上不为单调函数．当3a≤时