二次根式知识点总结及常见题型

第1页二次根式知识点总结及常见题型资料编号:20190802一、二次根式的定义形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,a叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:①是否含有二次根号“”;②被开方数是否为非负数.若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.（3）形如am（a≥0）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数,它表示的是:amam（a≥0）;（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式BA与AB都有意义,则有BA.二、二次根式的性质二次根式具有以下性质:（1）双重非负性:a≥0,a≥0;（主要用于字母的求值）（2）回归性:aa2（a≥0）;（主要用于二次根式的计算）（3）转化性:)0()0(2aaaaaa.（主要用于二次根式的化简）重要结论:（1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.若02CBA,则0,0,0CBA.应用与书写规范:∵02CBA,A≥0,2B≥0,C≥0∴0,0,0CBA.该性质常与配方法结合求字母的值.第2页（2）BAABBABABABA2;主要用于二次根式的化简.（3）0022ABAABABA,其中B≥0;该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的.（4）BABA22,其中B≥0.该结论主要用于二次根式的计算.例1.式子11x在实数范围内有意义,则x的取值范围是_________.分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0.解:由二次根式有意义的条件可知:01x,∴1x.例2.若yx,为实数,且2111xxy,化简:11yy.分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式BA与AB都有意义,则有BA.解:∵1x≥0,x1≥0∴x≥1,x≤1∴1x∴1212100y∴11111yyyy.习题1.如果53a有意义,则实数a的取值范围是__________.习题2.若233xxy,则yx_________.习题3.要使代数式x21有意义,则x的最大值是_________.习题4.若函数xxy21,则自变量x的取值范围是__________.习题5.已知128123aab,则ba_________.第3页例3.若04412bba,则ab的值等于【】（A）2（B）0（C）1（D）2分析:本题考查二次根式的非负性以及结论:若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.解:∵04412bba∴0212ba∵1a≥0,22b≥0∴02,01ba∴2,1ba∴221ab.选择【D】.例4.无论x取任何实数,代数式mxx62都有意义,则m的取值范围是__________.分析:无论x取任何实数,代数式mxx62都有意义,即被开方数mxx62≥0恒成立,所以有如下两种解法:解法一:由题意可知:mxx62≥0∵93622mxmxx≥0∴23x≥m9∵23x≥0∴m9≤0,∴m≥9.解法二:设mxxy62∵无论x取任何实数,代数式mxx62都有意义∴mxxy62≥0恒成立即抛物线mxxy62与x轴最多有一个交点∴mm436462≤0解之得:m≥9.例5.已知cba,,是△ABC的三边长,并且满足ccba20100862,试判断△ABC第4页的形状.分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值.解:∵ccba20100862∴010020862ccba∴010862cba∵6a≥0,8b≥0,210c≥0∴010,08,06cba∴10,8,6cba∵10010,10086222222cba∴222cba∴△ABC为直角三角形.习题6.已知实数yx,满足084yx,则以yx,的值为两边长的等腰三角形的周长为【】（A）20或16（B）20（C）16（D）以上答案均不对习题7.当x_________时,119x取得最小值,这个最小值为_________.习题8.已知24422xxxy,则yx的值为_________.习题9.已知非零实数ba,满足ababaa415316822,求1ba的值.提示:由152ba≥0,且012b可得:5a≥0,∴a≥5.第5页例6.计算:（1）26;（2）232x;（3）2323.分析:本题考查二次根式的性质:aa2（a≥0）.该性质主要用于二次根式的计算.解:（1）662;（2）32322xx;（3）6329323323222.注意:BABA22,其中B≥0.该结论主要用于二次根式的计算.例7.化简:（1）225;（2）2710;（3）962xx3x.分析:本题考查二次根式的性质:)0()0(2aaaaaa.该性质主要用于二次根式的化简.解:（1）2525252;（2）7107107102;（3）339622xxxx∵3x∴原式x3.注意:结论:BAABBABABABA2.该结论主要用于二次根式和绝对值的化简.例8.当3x有意义时,化简:22125xxx.解:∵二次根式3x有意义∴3x≥0∴x≥3第6页xy图（1）O∴22125xxx23125125xxxxxxx例9.化简:2223xx.分析:222xx,继续化简需要x的取值范围,而取值范围的获得需要挖掘题目本身的隐含条件:3x的被开方数3x为非负数.解:由二次根式有意义的条件可知:3x≥0∴x≥3∴2223xx522323xxxxx例10.已知10a,化简2121aaaa__________.解:∵10a∴aa1∴2121aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21111111122例11.已知直线23nxmy（nm,是常数）,如图（1）,化简1442mnnnm.第7页解:由函数23nxmy的图象可知:02,03nm∴2,3nm∴1442mnnnm1121212122mnnmmnnmmnnmmnnm例12.已知cba,,在数轴上的位置如图（2）所示,化简:222baccaa.bac图（2）0解:由数轴可知:bac0∴0ca∴222baccaababcacaabaccaa习题10.要使2222xx,x的取值范围是__________.习题11.若02aa,则a的取值范围是__________.习题12.计算:243_________.习题13.计算:2221_________.习题14.若332xx成立,则x的取值范围是__________.习题15.下列等式正确的是【】（A）332（B）332第8页（C）333（D）332习题16.下列各式成立的是【】（A）21212（B）332（C）21212（D）74322习题17.计算:272_________.习题18.化简:22xx_________.习题19.若baabbaa22221,01213则________.习题20.已知01a,化简414122aaaa得__________.习题21.实数cba,,在数轴上对应的点如图（3）所示,化简代数式:222212babacbaa的结果为【】（A）12cb（B）1（C）12ca（D）1cbabc图（3）10习题22.化简:2232144xxx.例13.把aa1中根号外的因式移到根号内,结果是【】（A）a（B）a（C）a（D）a分析:本题实为二次根式的化简:某些二次根式在化简时,把根号外的系数移到根号内,可以达到化简的目的,但要注意根号外面系数的符号.有如下的结论:第9页0022ABAABABA,其中B≥0.解:由二次根式有意义的条件可知:01a∴0a∴aaaaa112.选择【D】.习题23.化简212aa得__________.三、二次根式的乘法一般地,有:abba（a≥0,b≥0）（1）以上便是二次根式的乘法公式,注意公式成立的条件:a≥0,b≥0.即参与乘法运算的每个二次根式的被开方数均为非负数;（2）二次根式的乘法公式用于二次根式的计算;（3）两个带系数的二次根式的乘法为:abmnbnam（a≥0,b≥0）;（4）二次根式的乘法公式可逆用,即有:baab（a≥0,b≥0）公式的逆用主要用于二次根式的化简.注意公式逆用的条件不变.例14.若66xxxx成立,则【】（A）x≥6（B）0≤x≤6（C）x≥0（D）x为任意实数分析:本题考查二次根式乘法公式成立的条件:abba（a≥0,b≥0）解:由题意可得:060xx解之得:x≥6.选择【A】.例15.若1112xxx成立,则x的取值范围是__________.第10页分析:本题考查二次根式乘法公式逆用成立的条件:baab（a≥0,b≥0）解:由题意可得:0101xx解之得:x≥1.例16.计算:aa812（a≥0）.解:aaaaaaa21214181281222（a≥0）.习题24.计算:2731_________.习题25.已知21233m,则有【】（A）65m（B）54m（C）45m（D）56m习题26.化简12的结果是_________.四、二次根式的除法一般地,有:baba（a≥0,0b）（1）以上便是二次根式的除法公式,要特别注意公式成立的条件;（2）二次根式的除法公式用于二次根式的计算;（3）二次根式的除法公式可写为:baba（a≥0,0b）;（4）二次根式的除法公式可逆用,即有:baba（a≥0,0b）公式的逆用主要用于二次根式的化简,注意公式逆用的条件不变.五、最简二次根式符合以下条件的二次根式为最简二次根式:（1）被开方数中不含有完全平方数或完全平方式;第11页（2）被开方数中不含有分母或小数.注意:二次根式的计算结果要化为最简二次根式.六、分母有理化把分母中的根号去掉的过程,叫做分母有理化.如对21进行分母有理化,过程为:2222221;对321进行分母有理化,过程为:723232323321.由举例可以看出,分母有理化是借助于分数或分式的性质实现的.例17.计算:（1）654;（2