地质统计学变异函数

GS-Variogram变异函数与结构分析变异函数与结构分析•变异函数是对区域变量结构分析的工具也是研究对象非均质性描述的手段•通过计算研究对象不同方向上的变异函数可以得到不同方向的结构；•套合方法是对区域变量结构分析的方法均质化描述的方法；•克立格估计方法就是利用结构特征估计的。变异函数•变异函数：variogram//semi-variogram•区域化变量在某方向上相距h的增量的方差，称为区域化变量在该方向上的变异函数，记为γ(x,h)；•即γ(x,h)=½Var[Z(x)-Z(x+h)]•=½E[Z(x)-Z(x+h)]2–½{E[Z(x)]-E[Z(x+h)]}2•在二阶平稳假设或内蕴假设下有：•γ(h)=½E[Z(x)-Z(x+h)]2•在二阶平稳假设有：•γ(h)=C(0)-C(h)变异函数•变异函数的估计：•在二阶平稳假设或内蕴假设下区域化变量在某方向上的变异函数为γ(h)；•即Z(x)-Z(x+h)只依赖于在某方向上分隔它们的向量h，而与具体位置无关；则每对预测数据[z(x),z(x+h)]都可看成是[Z(x)-Z(x+h)]的一个取样(现实)，从而可用样本方差估计总体方差：•γ*(h)=Σ[z(xi)-z(xi+h)]2/2N(h)本章的主要内容变异函数及变异曲线：讨论变异函数及曲线描述变异函数的理论模型：介绍变异函数的理论模型及特点实验变异函数曲线的计算与拟合：学会如何利用观测样本估计计算研究对象特征的变异函数值并用理论模型进行拟合；结构分析：对研究对象的异向性进行分析的方法，主要讨论不同异向性情况下的结构套合方法结构分析的实施步骤：介绍对研究对象从观测开始到特征描述的一般过程变异函数及变异曲线•变异函数：由于其能反映区域化变量的结构特性，又称为结构函数；•γ(h)=½E[Z(x)-Z(x+h)]2•由于h和x是有方向的，一般描述：•γ(h,α)=½E[Z(x)-Z(x+h)]2•连续时：•离散时：xx+hV)(12V2)]()([)(21),()]()([21),(hNiiihxzxzhNhdxhxzxzVh变异函数及变异曲线•变异曲线：γ(h,α)与h的关系曲线（h又称为滞后距）•理想的变异曲线如图：•C(0):先验方差•a:变程(Range)•C0：块金效应(nuggeteffect)•C+C0：基台(sill)hCC0C(0)aγ(h)变异函数及变异曲线•变异函数的性质：•设Z(x)是二阶平稳的，则γ(h)存在且平稳，并有下列性质：•(1)γ(0)=0•(2)γ(h)=0•(3)γ(-h)=γ(h)•(4)[-γ(h)]是条件非负定函数•(5)γ(∞)=C(0)•变异函数与协方差函数的关系曲线•C(h)=C(0)-γ(h)hCC(0)aγ(h)变异函数及变异曲线•变异函数的功能：•1、通过变程a反映区域化变量的影响范围–跃迁现象–若区域化变量Z(x)的变异函数具有一个变程a和一个基台C，则Z(x)与落在以x为中心、以a为半径的邻域内的任何其它Z(x+h)有空间相关性；且相关程度随着两点距离的增大而减弱。hCC(0)aγ(h)变异函数及变异曲线•变异函数的功能：•2、变异函数在原点的性状可反映区域化变量的空间连续性•抛物线型(Parabolictype连续型):|h|-0,r(h)-A|h|2•线性型lineartype:|h|-0,r(h)-A|h|•随机型randomtyper(0)=0;r(h)=C0;h0•间断型discontinuoustyper(0)=0;r(h)=C0;h-0•可迁型(transitiontype)变异函数及变异曲线•变异函数的功能：•3、不同方向上的变异函数可反映区域化变量的和向异性hCC(0)aγ(h)变异函数及变异曲线•变异函数的功能：•4、变异函数如果是可迁的,则基台的大小反映该方向上的变化幅度hCC(0)aγ(h)变异函数及变异曲线•变异函数的功能：•5、块金常数C0的大小可反映区域化变量随机性的大小hCC(0)aγ(h)变异函数的理论模型•设Z(x)是满足内蕴假设的区域化变量且具有各向同性的变异函数γ(h)。•变异函数的理论模型分类：孔穴模型纯块金模型另对数函数模型幂函数模型无基台高斯模型抛物线指数函数模型球状模型线性有基台变异函数模型:变异函数的理论模型•变异函数理论模型函数形式：•有基台的模型;0,10,0)(:3;0),1(0,0)(:;0),1(0,0)(3;0),1(0,0)(:,1;0,)()(0,0)(:,;0),)()((0,0)(:22)()(00321230321230hehhaAheCChhhehhaAheCChhahahhhaAahCCahCChhahahahahahahahah标准化形式变程高斯模型标准化形式变程指数函数模型标准化形式变程球状模型变异函数的理论模型•变异函数理论模型函数形式：•有基台的模型变异函数的理论模型•变异函数理论模型函数形式：•无基台的模型•其它模型)]2cos(1[)(:0,0,0)(:ln3)(log)(:20,)(:00bhaheCChhChhhlhWijjsDehAhAhh孔穴效应模型纯块金模型模型对数函数模型幂函数模型变异函数的理论模型•变异函数理论模型函数形式：•无基台的模型变异函数的计算与拟合•变异函数的计算•计算公式)(12)]()([)(21),(hNiiihxzxzhNh变异函数的计算与拟合•变异函数的计算•计算方法•在指定方向上对指定h，搜索所有相距h的点对[z(xi),z(xi+h)]，并统计点对数N(h)。计算量依赖于数据的空间构型，按构型搜索方法可分为两类：•规则数据构型：已知取样数据点在空间是按规律进行的；在指定方向上可得到基本滞后距•不规则数据构型：横不成行竖不成列，找不到基本滞后距变异函数的计算与拟合•变异函数的计算•计算方法•规则数据构型：小样数据利用基本滞后距h有规律地直接计算，大样数据抽样计算•不规则数据构型：确定基本滞后距，给出角度容差和距离容差后计算,小样数据取大容差，大样数据取小容差变异函数的计算与拟合•变异函数的计算（加快计算速度和减少计算量和存储量）•点对文件法：(序号，角度，滞后距)存储量大•TheVariogramGrid:极坐标网，原点为某观测点位置，方位角为计算方向，极距为相对于某观测点的滞后距变异函数的计算与拟合•TheVariogramGrid:•方向：8个方向•滞后距：4个(100,200,300,400)•最大滞后距400•共32个网格单元变异函数的计算与拟合•TheVariogramGrid:•有三个观测点位置{(50,50),(100,200),(500,100)}.•三个点对:•A(50,50),(100,200)•B(50,50),(500,100)•C(100,200),(500,100)•则三个点对在图中的位置•A71.57158.11•B6.34452.77•C-14.04412.31变异函数的计算与拟合•设Z(x)是一维区域化变量满足风蕴假设。有8个观测值如图y计算变异函数值•γ(1)=3.0；•γ(2)=1.67；•γ(3)=2.80；•γ(4)=2.87；•γ(5)=1；•γ(6)=4；123456024631.672.82.8714变异函数图变异函数的计算与拟合•设Z(x)是二维区域化变量满足风蕴假设。有41个观测值如图,网格边长为a。计算4个方向变异函数•方向1：γ(a)=4.1；γ(2a)=8.84；γ(3a)=12.08；•方向2:γ(a)=4.25；γ(2a)=8.22；γ(3a)=10.9；•方向3：γ(1.414a)=5.03；γ(2.828a)=11.91；γ(4.242a)=17.25；•方向4：γ(1.414a)=6.47；γ(2.828a)=11.25；γ(4.242a)=15.44；变异函数图0246048121620变异函数的计算与拟合•计算示例•数据量:164•最大滞后距：16•18个方向•10个滞后距•共180个变异计算网格01234567891011LagDistance0102030405060708090VariogramDirection:0.0Tolerance:22.5ColumnC:Au10-9RangeMidrangeMinimumMaximumAverageVarianceCoef.ofVariationX1634.826.842.834.822.4Y302053520125Z79.9440.480.5180.454.3150669.6061.933470246810121416LagDistance020406080100120140VariogramDirection:0.0Tolerance:22.5ColumnC:Au10-9变异函数的计算与拟合•变异函数的拟合•用最优理论变异函数模型拟合计算出的变异函数；•拟合的一般步骤：–选择合适的理论模型；–选择恰当的拟合方法；–实际拟合。•单一模型的拟合、多模型套合结构的拟合变异函数的计算与拟合•变异函数的理论模型选择•任意有基台的模型都可用球状模型拟合•球状模型：单一模型的拟合•球状模型的组合:多模型套合结构的拟合ahahhhaAahCCahCChhahahahah,1;0,)()(0,0)(:,;0),)()((0,0)(:321230321230标准化形式变程球状模型变异函数的计算与拟合•人工拟合方法：观察-调整；•最小二乘方法：确定模型-用最小二乘法求最佳参数；•加权多项式回归方法：确定模型-用对应滞后距的点对数N(hi)为权系数，在最小二乘意义下拟合。变异函数的计算与拟合•加权多项式回归拟合单个球状模型•模型选择：单个球状模型•模型变换:变成多项式形式•加权处理：每个点对计算结果乘以权系数•最小二乘计算：调整后重算变异函数为线性模型从而得时但当则可得原参数若求出重新解令有时当变程球状模型,0;:,00,00)30,0;0,0)2*3/2,3/,0,00)1)()()(0,;0),)()((0,0)(:222102122110012100210221103223003212303bbb，bbbbxbxbybbabCbbabCb，bbxbxbbyhhChahaAahCCahCChhaCaCahah变异函数的计算与拟合•加权多项式回归方法•计算示例：•b0=1.02;b1=2.28;b2=-0.01•C0=1.02;a=8.312;C=12.634•C0+C=13.654hr(h)1.54.12.36.33.28.03.99.54.710.75.411.76.212.5713.07.713.38.513.59.213.70481246810121404812468101214变异函数的计算与拟合•加权多项式回归拟合二级套合球状模型•模型选择：二级球状模型•模型变换:变成多项式形式•加权处理：每个点对计算结果乘以权系数•最小二乘计算：分段用最小二乘拟合计算2211032231021221103222323012121210213212321013212323212310)()()()()()(0;,:2,;))()((;0),)()(())()((0,0)(:322223223112211222211xdxddyhhCChahaxbxbbyhhChahaaaaahCCCah，aCCCahCCChhaCaCaCaCaCaCahahahahahah