水力学3.2流体运动的连续性方程

3流体运动学本章主要任务:流体多处于运动状态研究各种水力要素随时间和空间变化的情况,建立其关系式(基本方程),并用其解决工程实际问题3.2流体运动的连续性方程3.2.1流体的连续性微分方程3.2.2元流和总流的连续性微分方程3.2.1流体的连续性微分方程推导的原理：流体的运动也遵循质量守恒定律3.2.1流体的连续性微分方程如图3.7，在流场中取一个以M点为中心的各边分别与直角坐标系各轴平行的微小六面体，各边长δx,δy,δz,其形心M(x，y，z)，t时刻M点的流速，密度ρ(x，y，z，t)),,(zyxuuuu图3.73.2.1流体的连续性微分方程因为六面体很微小,所以其六面上的各点在t时刻的流速和密度,可用泰勒级数展开,并略去二阶以上的微分来表示,于是,abcd,a'b'c'd'面上中心点1,2的流速和密度分别为:3.2.1流体的连续性微分方程质量2xxuuxx2xxuuxx2xx2xxtxxuuxx)2(txxuuxx)2(txxuuxx]2)([txxuuxx]2)([流速1点:2点:密度δt时间内流过单位面积上的流体体积和质量如下:体积1点:2点:3.2.1流体的连续性微分方程同理可得另两对平行面的净流入量分别为:tzyxxuuxx]2)([tzyxxuuxx]2)([tzyxxux)(tzyxyuy)(tzyxzuz)(因为面积很小,中心点1,2的水力要素可代表平面的平均情况,于是abcd面流入的液体质量,a'b'c'd'面流出的液体质量,净流入量=流入-流出,3.2.1流体的连续性微分方程因为是连续介质,即质点间不存在间隙,按质量守恒定律,流经以上三个方向的净流量之和应等于六面体在同一时间内流体质量的增量(由密度增减产生的)于是即得zyxtttzyxzutzyxyutzyxxuzyx)()()()(0)()()(zuyuxutzyx(3.22)即为可压缩流体的欧拉连续性微分方程3.2.1流体的连续性微分方程将上式进行展开,0)()()(zuyuxutzyx(3.22)0)(zuyuxuzuyuxutzyxzyx因为zuyuxutdtdzyx可压缩流体的欧拉连续性微分方程的另一表达式0)(zuyuxudtdzyx(3.22')即得3.2.1流体的连续性微分方程对于不可压缩流体,ρ=常数,(3.22)式可简化为:不可压缩流体的欧拉连续性微分方程,对于恒定流和非恒定流均适用.0zuyuxuzyx(3.23)注:除特别指出外,以后研究的,都是不可压缩的均质流体3.2.2元流和总流的连续性微分方程主流流程不一定是直线,多数是曲线.流管形状不随时间而变化.据流线的性质,没有液体从四周出入.δA1δA2主流方向:工程实际中,流体流动多数都是在某些固定界面所限定的空间内沿某一方向的流动.这一方向就是主流方向.左图,取一微小流管,设流动为恒定流,u1u23.2.2元流和总流的连续性微分方程δA较小,u看成均匀分布,所以dt时段,δA1δA2u1dtδA1ρ1=ρ1u1δA1dt因为是不可压缩的恒定流,所以流管内的质量不随时间变化ρ1u1δA1=ρ2u2δA2(3.24)从δA1流入的质量:ρ2u2δA2dt从δA2流出的质量:ρ1u1δA1dt=ρ2u2δA2dtu1u23.2.2元流和总流的连续性微分方程所以u1δA1=u2δA2(3.25)ρ1u1δA1=ρ2u2δA2(3.24)δQ=u1δA1=u2δA2(3.26)即为不可压缩流体的元流连续性方程将式(3.26)写成微分形式:对于不可压缩的均质流体:ρ1=ρ2因为uδA=δQ,于是得:dQ=u1dA1=u2dA23.2.2元流和总流的连续性微分方程因为总流是由无数元流组成的,故对上式进行积分,(其中A1,A2是总流的两个过流断面的面积)微分形式:dQ=u1dA1=u2dA2221121dAudAudQAA为分析简便,采用总流分析法,即用断面平均流速代替断面上各点不相等的流速VAdAVudAQAA(3.28)由此类推,Q=A1V1=A2V2(3.29)3.2.2元流和总流的连续性微分方程VAdAVudAQAA(3.28)由此类推,Q=A1V1=A2V2(3.29)(3.29)就是恒定总流的连续性微分方程注:它既适合理想流体,也适用于实际流体,同时,它也适用于非恒定流中任一瞬时的情况若出现支流时,则3.2.2元流和总流的连续性微分方程如图3.8,若出现支流时,则Q1+Q2=Q3=Q4+Q5图3.83.2.2元流和总流的连续性微分方程例3.3