带电粒子在磁场中的运动

第二讲带电粒子在磁场中的运动专题四考向透析(2014·和平区)如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上垂直纸面放置一根长为L，质量为m的直导体棒，一匀强磁场垂直于斜面，当导体棒内通有垂直纸面向里的电流I时，导体棒恰好静止在斜面上。(重力加速度为g)则()导体棒在磁场中所受安培力问题A．磁感应强度的大小为mgsinθIL，方向垂直斜面斜向上B．磁感应强度的大小为mgsinθIL，方向垂直斜面斜向下C．磁感应强度的大小为mgtanθIL，方向垂直斜面斜向上D．磁感应强度的大小为mgtanθIL，方向垂直斜面斜向下[解析]本题考查了左手定则、共点力平衡及安培力公式，意在考查考生的综合分析能力。对导体棒受力分析，由左手定则判断，磁场方向垂直斜面斜向下。F安＝mgsinθ，F安＝BIL，联立得B＝mgsinθIL，选项B正确。[答案]B拓展提升一、基础知识要记牢1．安培力的大小F＝BILsinθ(其中θ为B与I之间的夹角)(1)若磁场和电流垂直：F＝BIL；(2)若磁场和电流平行：F＝0。2．安培力的方向(1)左手定则可判定安培力的方向。(2)特点：电流所受的安培力的方向既跟磁场方向垂直，又跟电流方向垂直，所以安培力的方向总是垂直于磁感线和通电导线所确定的平面。二、方法技巧要用好解决安培力问题的一般思路1．确定研究对象；2．明确导线中电流的方向及其周围磁场的方向；3．利用左手定则判断通电导线所受安培力的方向；4．结合物体的平衡条件或牛顿运动定律进行求解。(2013·和平区)如图所示，一个边长L、三边电阻相同的正三角形金属框放置在磁感应强度为B的匀强磁场中。若通以图示方向的电流(从A点流入，从C点流出)，电流强度I，则金属框受到的磁场力为()A．0B．ILBC．43ILBD．2ILB[答案]B[解析]该题考查磁场性质，难度中等。AC边电阻为R，ABC边电阻为2R，两者并联，则流过AC边的电流为23I，流过ABC边的电流是13I，受到的安培力F＝FAC＋FABC＝B23IL＋B13IL＝BIL，B对。带电粒子在匀强磁场中的运动(2014·乌鲁木齐模拟)如图所示，在ab＝bc的等腰三角形abc区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，d是ac上任意一点，e是bc上任意一点。大量相同的带电粒子从a点以相同方向垂直磁场射入，由于速度大小不同，粒子从ac和bc上不同点离开磁场。不计粒子重力，则从c点离开的粒子在三角形abc磁场区域内经过的弧长和运动时间。与从d点和P点离开的粒子相比较()A．经过的弧长一定大于从d点离开的粒子经过的弧长B．经过的弧长一定小于从e点离开的粒子经过的弧长C．运动时间一定大于从d点离开的粒子的运动时间D．运动时间一定大于从e点离开的粒子的运动时间[解析]本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，牛顿第二定律，向心力，解决带电粒子在磁场中运动的问题要画出其运动轨迹，找出相应的几何关系，从而确定圆心和半径。意在考查考生对边界磁场问题的理解和处理能力。如图所示，若粒子从ac边射出，粒子依次从ac上射出时，半径增大而圆心角相同，弧长等于半径乘以圆心角，所以经过的弧长越来越大，运动时间t＝θT/2π，运动时间相同，所以A正确，C错误；如果从bc边射出，粒子从b到c上依次射出时，弧长会先变小后变大，但都会小于从c点射出的弧长，圆心角也会变大，但小于从c点射出时的圆心角，所以运动时间变小，故B错误，D正确。[答案]AD拓展提升一、基础知识要记牢1．洛伦兹力(1)大小①v∥B时，F＝0。②v⊥B时，F＝qvB。③v与B夹角为θ时：F＝qvBsinθ。(2)方向：F、v、B三者的关系满足左手定则。(3)特点：由于F始终垂直于v的方向，故洛伦兹力永不做功。2．带电粒子在匀强磁场中的运动(1)若v∥B，带电粒子以速度v做匀速直线运动，此情况下洛伦兹力等于零。(2)若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度做匀速圆周运动。①向心力由洛伦兹力提供，qvB＝mv2R；②轨道半径R＝mvqB；③周期：T＝2πRv＝2πmqB。二、方法技巧要用好1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的分析方法(1)圆心的确定轨迹圆心总是位于入射点和出射点所受洛伦兹力的作用线的交点上或过这两点的弦中垂线与任一个洛伦兹力作用线的交点上。(2)半径的确定利用平面几何关系，求出轨迹圆的半径。(3)运动时间的确定：t＝α2πT，其中α为偏转角度。2．作带电粒子运动轨迹时需注意的问题(1)四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。(2)六条线：圆弧两端点所在的轨迹半径，入射速度直线和出射速度直线，入射点与出射点的连线，圆心与两条速度直线交点的连线。前面四条边构成一个四边形，后面两条为对角线。(3)三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的两倍。(2014·唐山模拟)如图所示，在OA和OC两射线间存在着匀强磁场，∠AOC为30°，正负电子(质量、电荷量大小相同，电性相反)以相同的速度均从M点以垂直于OA的方向垂直射入匀强磁场，下列说法可能正确的是()A．若正电子不从OC边射出，正负电子在磁场中运动时间之比可能为3∶1B．若正电子不从OC边射出，正负电子在磁场中运动时间之比可能为6∶1C．若负电子不从OC边射出，正负电子在磁场中运动时间之比可能为1∶1D．若负电子不从OC边射出，正负电子在磁场中运动时间之比可能为1∶6[答案]CD[解析]本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，关键作出粒子的运动轨迹图，抓住临界状态，结合几何关系进行求解，知道粒子在磁场中的运动时间t＝θ2πT。意在考查考生的综合分析能力。正电子向右偏转，负电子向左偏转，若正电子不从OC边射出，负电子一定不会从OC边射出，粒子运动的圆心角相等，可知运动的时间之比为1∶1。故A、B错误；若负电子不从OC边射出，正电子也不从OC边射出，两粒子在磁场中运动的圆心角都为180度，可知在磁场中运动的时间之比为1∶1。故C正确；当负电子恰好不从OC边射出时，对应的圆心角为180度，根据两粒子在磁场中的半径相等，由几何关系知，正电子的圆心角为30度，根据t＝θ2πT，知正负电子在磁场中运动的时间之比为1∶6，故D正确。(2014·山东)如图甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场。取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。t＝0时刻，一质量为m、带电量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当B0和TB取某些特定值时，可使t＝0时刻入射的粒子经Δt时间恰能垂直打在P板上(不考虑粒子反弹)。上述m、q、d、v0为已知量。带电粒子在磁场中运动的周期性和多解性(1)若Δt＝12TB，求B0；(2)若Δt＝32TB，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；(3)若B0＝4mv0qd，为使粒子仍能垂直打在P板上，求TB。[解析]本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动。解题思路大致如下：根据题意找出带电粒子在磁场中的运动半径，根据向心力公式可求得磁感应强度；用同样的思路可求出Δt＝32TB时粒子在磁场中运动的加速度大小；根据几何知识找出粒子运动半径满足的条件，由圆周运动的向心力公式和周期公式，可得粒子垂直打在P板上TB满足的条件。(1)设粒子做圆周运动的半径为R1，由牛顿第二定律得qv0B0＝mv20R1①据题意由几何关系得R1＝d②联立①②式得B0＝mv0qd③(2)设粒子做圆周运动的半径为R2，加速度大小为a，由圆周运动公式得a＝v20R2④据题意由几何关系得3R2＝d⑤联立④⑤式得a＝3v20d⑥(3)设粒子做圆周运动的半径为R，周期为T，由圆周运动公式得T＝2πRv0⑦由牛顿第二定律得qv0B0＝mv20R⑧由题意知B0＝4mv0qd，代入⑧式得d＝4R⑨粒子运动轨迹如图所示，O1、O2为圆心，O1O2连线与水平方向的夹角为θ，在每个TB内，只有A、B两个位置才有可能垂直击中P板，且均要求0θπ2，由题意可知π2＋θ2πT＝TB2⑩设经历完整TB的个数为n(n＝0,1,2,3……)若在A点击中P板，据题意由几何关系得R＋2(R＋Rsinθ)n＝d⑪当n＝0时，无解⑫当n＝1时，联立⑨⑪式得θ＝π6(或sinθ＝12)⑬联立⑦⑨⑩⑬式得TB＝πd3v0⑭当n≥2时，不满足0θ90°的要求⑮若在B点击中P板，据题意由几何关系得R＋2Rsinθ＋2(R＋Rsinθ)n＝d⑯当n＝0时，无解⑰当n＝1时，联立⑨⑯式得θ＝arcsin14(或sinθ＝14)⑱联立⑦⑨⑩⑱可得TB＝(π2＋arcsin14)d2v0⑲当n≥2时，不满足0θ90°的要求⑳[答案](1)mv0qd(2)3v20d(3)TB＝(π2＋arcsin14)d2v0拓展提升一、基础知识要记牢引起粒子在匀强磁场中做圆周运动多解的四种原因：(1)带电粒子的电性不确定形成多解，可能出现两个方向的运动轨迹。(2)磁场方向不确定形成多解，可能出现两个方向的运动轨迹。(3)临界状态不唯一形成多解，需要根据临界状态的不同，分别求解。(4)圆周运动的周期性形成多解。二、方法技巧要用好解决本类问题的一般思路：(1)首先要明确带电粒子的电性和磁场的方向；(2)正确地找出带电粒子运动的临界状态；(3)结合带电粒子的运动轨迹利用圆周运动的周期性进行分析计算。如图所示，在坐标系xOy中，第一象限内充满着两个匀强磁场a和b，OP为分界线，在区域a中，磁感应强度为2B，方向垂直于纸面向里；在区域b中，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，P点坐标为(4l、3l)。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从P点沿y轴负方向射入区域b，经过一段时间后，粒子恰能经过原点O，不计粒子重力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：(1)粒子从P点运动到O点的时间最少是多少？(2)粒子运动的速度可能是多少？[答案](1)53πm60qB(2)25qBl12nm(n＝1,2,3，…)[解析](1)设粒子的入射速度为v，用Ra、Rb、Ta、Tb分别表示粒子在磁场a区域和b区域运动的轨迹半径和周期则：Ra＝mv2qB，Rb＝mvqBTa＝2πm2qB＝πmqB，Tb＝2πmqB粒子先从b区域运动，再进入a区域运动，然后从O点射出时，粒子从P点运动到O点所用时间最短，如图所示。由tanα＝3l4l＝34得α＝37°粒子在b区域和a区域运动的时间分别为：tb＝180°－2α360°Tb，ta＝180°－2α360°Ta故从P点运动到O点所用最短时间为：t＝ta＋tb＝53πm60qB(2)由题意及图可知n(2Racosα＋2Rbcosα)＝3l3＋4l2(n＝1,2,3，…)解得：v＝25qBl12nm(n＝1,2,3，…)