初二数学第四讲相交线与平行线(学案)

1第04讲相交线与平行线适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域全国课时时长（分钟）120分钟知识点1.相交线2.对顶角、邻补角3.垂线段最短4.点到直线的距离5.同位角、内错角、同旁内角6.平行线7.平行公理及推论8.平行线之间的距离9.两直线平行的判定与性质学习目标1.了解补角、余角、对顶角，知道等角（同角）的余角相等、等角（同角）的补角相等、对顶角相等；2.了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，理解点到直线的距离的意义；3.知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；理解两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离;4.会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；掌握平行线的性质与判定学习重点1.利用垂直公理、平行公理及推论、平行线的性质及判定进行简单的推理22.正确理解并掌握基本概念，会写推理的过程，善于归纳总结3.平行线的性质和判定4.平行线之间的距离处处相等的应用学习难点1.识别同位角、内错角、同旁内角2.平行线的性质与判定3.利用垂线段最短的性质作图学习过程一、复习预习同学们都看过奥运会吧，你能看出下面的图片中蕴含着哪些我们学过的知识么？容易看出第一行的图片让人想到垂直，而第二行的图片让人想到平行。即使我们不懂这些体育运动评分的标准，我们也能从运动员身体的形态、位置获得美感。在生活中，若我们能多用数学眼光去观察，会发现数学无处不在，它处处给人带来美的享受。3二、知识讲解1.邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。∠3+∠4=180°2.“三线八角”的识别：平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角，其中有：4对同位角，2对内错角和2对同旁内角。正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同要抓住位于截线同旁，被截两线的同方向（“同旁”和“同向”）——F型；内错角位于截线两侧，被截两线之间要抓住（“内部”和“两旁”）——Z型；同旁内角要抓住位于截线同旁，被截两线之间（“内部”和“同旁”）——U型.3.垂线及其性质：（1）定义：两条直线相交，夹角为90°时，这两条直线的位置关系称为垂直，这两条线互为对方的“垂线”，它们的交点称为“垂足”；根据定义判断两直线是否垂直时，只需要判断其夹角是不是90°。（2）垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（其它的线段称为“斜线段”）。（3）距离点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，称为点到直线的距离；43124平行线之间的距离：作平行线的垂线，垂线段的长度，称为平行线之间的距离。4．平行线及平行线的判定、性质：（1）平行公理及其推论：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行。（2）平行线的判定及性质：平行线的判定平行线的性质1、同位角相等，两直线平行2、内错角相等，两直线平行3、同旁内角互补，两直线平行4、平行于同一条直线的两直线平行5、垂直于同一条直线的两直线平行1、两直线平行，同位角相等2、两直线平行，内错角相等3、两直线平行，同旁内角互补4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行基本几何模型：例如，AB∥CD，∠ABE=∠DCF，求证：BE∥CF．（1）如图1：拐角处巧添平行线（拐角+平行线）（2）如图2：寻找“中介角”,把已知角联系起来.5．平移及其性质：（1）平移的条件：①平移的方向；②移动的距离（2）平移的性质：平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；平移变换中，连结各组对应点的线段平行（或共线）且相等。6．设计作图：（1）利用垂线段最短作图；（2）利用平行线之间距离处处相等作图（等积变换作图）：基本图形：5abcbaFEABCDEACD考点/易错点11.对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角。易错点：①对顶角都是成对出现的，单独的角不能构成对顶角；②两条直线相交构成两对对顶角；③对顶角只有公共顶点、没有公共边，它们的两边互为反向延长线。2.如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。易错点：①邻补角有一条公共边，另一边互为反向延长线；②邻补角≠补角；③两相交直线可以形成四对邻补角。考点/易错点21.同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都是平行线特有的性质，切不可忽略前提条件：“两直线平行”。当两直线不平行时，同位角、内错角就不相等，同旁内角不互补。2.只要两条直线被第三条直线所截，都存在同位角、内错角，但不一定相等，同旁内角不一定互补。3.证明两直线平行时，必须弄清所用条件中的同位角、内错角、同旁内角是哪两条直线被哪一条直线所截而成的，因为推出的结论是除截线外的另两条直线平行.考点/易错点3“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”的联系与区别：1.线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。联系：具有垂直于已知直线的共同特征，且都是图形。(垂直的性质)2.点间距离与点到直线的距离区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。6联系：都是线段的长度，是数量；点到直线的距离是已知点与垂足间距离。3.线段与距离：距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。三、例题精析【例题1】【题干】有下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A．①忽略了两条直线必须是平行线；③不应忽略相等的两个角的两条边必须互为反向延长线，才是对顶角；④举一反例即可证明是错的：80°+60°=170°，170°显然不是锐角，故①③④是错的．②是公理故正确；⑤根据补角定义如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角，同角的补角相等．比如：∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，则∠C=∠B．等角的补角相等．比如：∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，∠A=∠D，则∠C=∠B．∴②⑤是正确的．【解析】此题考查的知识点多，用平行线的性质，对顶角性质，补角的定义等来一一验证．【变式1】如图所示，指出下列各组角是由哪两条直线被哪一条直线所截得的，并说出它们是什么角？∠1和∠2；∠2和∠6；∠6和∠A；∠3和∠5；∠3和∠4；∠4和∠7．【答案】∠1和∠2是直线ED和直线BD被直线AB所截所产生的同位角；∠2和∠6是直线AB和直线AC被直线BD所截所产生的内错角；∠6和∠A是直线AB和直线BD被直线AC所截所产生的同位角；∠3和∠5是直线ED和直线CD被直线EC所截所产生的同旁内角；∠3和∠4是直线ED和直线BC黑直线EC所截产生的内错角；∠4和∠7是直线BE7和直线BC被直线EC所截产生的同旁内角．【解析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．【变式2】已知直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，垂足为O，OF平分∠AOC，∠AOF：∠AOD=5：26，求∠EOC．【答案】解：∵OF平分∠AOC，∴∠AOF=∠COF，∵∠AOF：∠AOD=5：26，∴设∠AOF=5x，则∠AOD=26x，∠FOC=5x，∴5x+5x+26x=36x=180°，解得：x=5°，∴∠AOF=∠COF=25°，∴∠EOC=∠EOA+∠AOC=90°+50°=140°．【解析】根据已知得出∠AOF=∠COF的度数是解题关键．【例题2】【题干】点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，线段AB的长度为（）A．10cmB．4cmC．10cm或4cmD．至少4cm【答案】D．从点A作直线l的垂线，垂足为C点，当A、B、C三点共线时，线段AB的长为7﹣3=4cm，其它情况下大于4cm。【解析】此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．【变式1】下列四个说法：①两点之间，直线最短；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；③连接两点的线段，叫做两点的距离；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④8【答案】D。①两点之间，直线最短，说法错误，应是线段最短；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，说法正确；③连接两点的线段，叫做两点的距离，说法错误，应是连接两点的线段的长度，叫做两点的距离；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，说法正确．【解析】此题主要考查了点到直线的距离和两点间距离的概念．【变式2】如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是（）A．大于3cmB．小于5cmC．大于3cm或小于5cmD．大于3cm且小于5cm【答案】D．∵AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5cm，BC=3cm，∴BC＜BD＜AB，即BD的长度的取值范围是大于3cm且小于5cm．【解析】此题要熟练掌握垂线段最短的性质．【例题3】【题干】如图，AB∥CD，P为AB、CD之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，求∠BPC的度数.【答案】解法1：过P作射线PN∥AB.∵AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠4＝∠2＝25°.∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝32°.∴∠BPC＝∠3＋∠4＝32°＋25°＝57°.解法2：过P作射线PM∥AB.∵AB∥CD，∴PM∥CD.∴∠6＝180°－∠2＝180°－25°＝155°.∵AB∥PM，∴∠5＝180°－∠1＝180°－32°＝148°，∴∠BPC＝360°－∠5－∠6＝360°－148°－155°＝57°.9解法3：过C作CE∥BP交AB的延长线于点E.∴∠1＝∠E，∠BPC＝180°－∠7.∵AB∥CD，∴∠E＋∠2＋∠7＝180°，∴∠7＝180°－∠1－∠2＝180°－32°－25°＝123°，∴∠BPC＝180°－∠7＝180°－123°＝57°.解法4：可过B作PC的平行线（请同学们自己写出证明过程，方法同解法3）.【解析】此图不是我们所学过的“三线八角”基本图，需适当添加辅助线，构造成我们所熟知的基本图形解题。【变式1】如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，试说明AB∥EF的理由.【答案】解法1：如图，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°.∵∠B＝25°，∠E＝10°，∴∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN.∴AB∥CM，EF∥DN.又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°.∴∠DCM＝∠CDN.∴CM∥DN.∵AB∥CM，EF∥DN，∴AB∥EF.解法2：如图，分别向两方延长线段CD交EF于点M，交AB于点N.∵∠BCD＝45°，∴∠NCB＝135°.∵∠B＝25°，∴∠CNB＝180°－∠NCB－∠B＝20°.又∵∠CDE＝30°，∴∠EDM＝150°.又∵∠E＝10°，∴∠EMD＝180°－∠EDM－∠E＝20°.∴∠CNB＝EMD.∴AB∥EF.10【解析】本题图中找出能直接判定AB∥EF的角很困难，我们可以通过做辅助线入手，找到