高等代数(第三版)5-习题课

第五章二次型习题课一、主要内容二、典型例题第五章二次型习题课称为数域P上的一个n元二次型．①212111121211(,,,)22nnnfxxxaxaxxaxxn个文字的二次齐次多项式12,,,nxxx2222222nnaxaxx2333332nnaxaxx2nnnax一、N元二次型ijPaPÎ定义：设为一个数域，第五章二次型习题课12,nxxXx令由1112112122221212......(,,...,)...nnnnnnnnaaaxaaaxXAXxxxxaaa2、二次型的矩阵表示第五章二次型习题课1）合同具有对称性：传递性:即C1C2可逆.反身性:注:1、定义：设，若存在可逆矩阵,nnABP使，则称A与B合同.,nnCPBCACAEAE,||0BCACC11()()ACBC112212,,||0,||0BCACDCBCCC2112()DCCACC1212()()CCACC1212||||||0,CCCC二、矩阵的合同第五章二次型习题课3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.2）合同矩阵具有相同的秩.2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与A与B合同.二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´AY进而，有:C可逆()()BA秩秩,BCAC,,AABCACC可逆()BCACCACCACB,,AABB若原二次型矩阵是合同的.第五章二次型习题课三、二次型的标准形过非退化线性替换化成平方和的形式.（定理1）数域P上任一二次型都可经第五章二次型习题课二次型的标准形的定义所变成的平方和形式注：1）任一二次型的标准形是存在的.2）可应用配方法得到二次型的标准形.2221122nndydydy二次型经过非退化线性替换12(,,,)nfxxx的一个标准形.称为12(,,,)nfxxx第五章二次型习题课（定理2）数域P上任一对称矩阵合同于一个对角矩阵.第五章二次型习题课合同变换法（1）互换矩阵的,ij两行，再互换矩阵的,ij两列;1.定义：合同变换是指下列三种变换（2）以数k（0k)乘矩阵的第i行；再以数k乘ii（3）将矩阵的第i行的k倍加到第j行，再将第i列的k倍加到第j列（).ij矩阵的第i列.第五章二次型习题课2.合同变换法化二次型为标准形又，设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵基本原理：C,使Ｄ＝Ｃ´ＡＣ.(,)(,),(())(()),pijpijpikpiks2112sCACQQQAQQQs2112sQQQAQQQ（（（）））若为初等阵，则12,siCQQQQ(,())(,())pijkpjik第五章二次型习题课对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足就相当于对A作s次合同变换化为D.所以，在合同变换化矩阵A为对角阵D的同时，又注意到12...SCEQQQ212(...())...)SSQQQAQQQD所以，212(...())...)SSCACQQQAQQQ.CACD第五章二次型习题课基本步骤：②对A作合同变换化为对角矩阵D对E仅作上述合同变换中的初等列变换得C③作非退化线性替换X=CY，则即,12(,...,),nfxxxXAXAA①写出二次型的矩阵A12(,,...,)nfxxx为标准形.12(,,...,)nfxxxYDYDCAED为对角阵,且DCAC第五章二次型习题课四、复数域上的二次型的规范形1.复二次型的规范形的定义标准形再作非退化线性替换2211()'(')rrfXYCACYdydy设复二次型()','CnnfXXAXAA经过非退化线性替换可逆,得,CnnXCYC这里0,1,2,idirrfA秩秩（）.第五章二次型习题课则称之为复二次型()fX的规范形.111(,,,1,,1)rDdiagdd1111111rrrrrnnyzdyzdyzyz,或Y=DZ,22212()'('')rfXZDCACDZzzz第五章二次型习题课注意：①复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种.②复二次型的规范形是唯一的，由秩f确定.2.（定理3）任一复二次型经过适当的非退化线性替换可化为规范形，且规范形唯一.推论1.任一复对称矩阵A合同于对角矩阵0,00rE().rA其中秩推论2.两个复对称矩阵A、B合同()().AB秩秩第五章二次型习题课五、实数域上的二次型的规范形再作非退化线性替换1.实二次型的规范形的定义()'(')fXYCACY22221111,pppprrdydydydy设实二次型经过()','RnnfXXAXAA可逆，得标准形非退化线性替换,RnnXCYC其中，r=秩f().A秩0,1,2,idir第五章二次型习题课则()'('')fXZDCACDZ222211pprzzzz1111111()rrrrrnnyzdyzdyzyz,或Y=DZ,同前111(,,,1,,1)rDdiagdd称之为实二次型的规范形.()fX第五章二次型习题课①实二次型的规范形中平方项的系数只有1，－1，0三种.②实二次型的规范形中平方项的系数中1的个数与－1的个数之和=秩=秩(A)是唯一确定的.f③规范形是唯一的.2、(定理4)惯性定理：任一实二次型可经过适当的非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯一.注意第五章二次型习题课定义：实二次型)(1nxxf的规范形f中正平方项的个数p称为的正惯性指数；rp称为f的负惯性指数；负平方项的个数rpprp2)(称为f的符号差.它们的差222211ppryyyy第五章二次型习题课推论1、任一实对称矩阵A合同于一个形式为其中的个数，+1的个数1()rA秩'pXAX等于的正惯性指数；－1的个数'rpXAX等于的负惯性指数.的对角矩阵.1111000prpEE第五章二次型习题课推论2、实二次型gf,具有相同的规范形gf秩秩，且的正惯性指数=g的正惯性指数.f推论3、实对称矩阵A、B合同()()AB秩秩BXXAXX''与的正惯性且二次型指数相等.第五章二次型习题课六、正定二次型则称为正定二次型.f12(,,,)0nfccc一组不全为零的实数都有12,,,nccc1、定义：实二次型若对任意12(,,,)nfxxx第五章二次型习题课2、正定二次型的刻画1）实二次型正定XAX,0nXRXAX若X0,则2）设实二次型f正定0,1,2,,idin222121122(,,,)nnnfxxxdxdxdx第五章二次型习题课22212.nzzz其规范形为2221122,0,1,2,,nnidydydydin12(,,,)nfxxx4)二次型正定其标准形为3）(定理6)n元实二次型正定12(,,,)nfxxx()fnpf秩的正惯性指数A的顺序主子式Pk全大于零.第五章二次型习题课1、定义：设A为实对称矩阵，若二次型XAX是正定的，则称A为正定矩阵.2、正定矩阵的刻画七、正定矩阵1）实对称矩阵A正定A与单位矩阵E合同.2)实对称矩阵A正定存在可逆矩阵C，使ACC可见，正定矩阵是可逆矩阵3）实对称矩阵A正定A与任一正对角矩阵合同.第五章二次型习题课设A为n阶正定矩阵，证明（5）若B亦是正定矩阵，则A＋B也是正定矩阵；（2）是正定矩阵；(0)kAk（1）是正定矩阵；1A（3）是正定矩阵；*A（4）是正定矩阵（m为任意整数）；mA3、正定矩阵的性质(7)()det()||0ijnAaAA实对称矩阵正定(6)()0,1,2,,.ijniiAaain实对称矩阵正定第五章二次型习题课设n元二次型12(,,,),,nnnfxxxXAXAAR若对任意一组不全为零的实数12,,,,nccc都有②，则称为半正定二次型.12(,,,)0nfcccf③，则称为半负定二次型.f12(,,,)0nfccc①则称为负定二次型.12(,,,)0,nfcccf④既不是半正定，也不是半负定，则称为ff1．定义八、n元实二次型的分类不定二次型.第五章二次型习题课注：相应于此，n级实对称矩阵可分类为：①正定矩阵②负定矩阵③半正定矩阵1）实二次型正定12(,,,)nfxxx12(,,,)nfxxx负定；实对称矩阵A正定－A负定.半负定；12(,,,)nfxxx2）实二次型半正定12(,,,)nfxxx实对称矩阵A半正定－A半负定.2、判定④半负定矩阵⑤不定矩阵第五章二次型习题课3）(定理8)设n元实二次型12(,,,),nfxxxXAX①半正定；12(,,,)nfxxx②秩=秩(A)=（正惯性指数）；fp③A合同于非负对角阵，即存在可逆阵C，使则下列有条件等价：,nnAAR④存在，使；nnCRACC⑤A的所有主子式皆大于或等于零.由此可得，A半正定0A1,0,1,2,,indCACdind第五章二次型习题课实对称矩阵A负定A的一切偶数阶顺序主子式皆大于零，一切奇数阶顺序主子式皆小于零.