3.2.3立体几何中的向量方法空间角的求法

3.2.3立体几何中的向量方法空间角的求法复习引入•用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”•（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）•（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）•（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）知识点1：直线所成的角（范围：）Oba,ab(0,]2Oba,ab||cos|cos,|||||mnmnmn知识点2、直线与平面所成的角（范围：）]2,0[,2nBA,2nBA据图分析可得：结论：sin|cos,|nAB知识点3：二面角（范围：）[0,]结论：coscos,||||ABCDABCDABCD结论：21,coscosnn21,coscosnn或归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.[课堂练习]如图所示，A1B1C1­ABC是直三棱柱，∠ACB＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值．解：如图所示，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，设CB＝CA＝CC1＝1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，D112，12，1，F112，0，1，则1AF＝－12，0，1，1BD＝12，－12，1，∴|1AF|＝52，|1BD|＝62，则cos〈1AF，1BD〉＝1AF·1BD|1AF||BD1|＝3010，∴BD1与AF1所成角的余弦值为3010.[例2]如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．(1)求证：PB⊥DM；(2)求BD与平面ADMN所成的角．[解]如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，设BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)，M(1，12，1)．(1)证明：PB·DM＝(2,0，－2)·1，－32，1＝0，∴PB⊥DM.(2)∵PB·AD＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0，∴PB⊥AD.又∵PB⊥DM，∴PB⊥平面ADMN.即PB为平面ADMN的一个法向量．因此〈PB，DB〉的余角即是BD与平面ADMN所成的角．∵cos〈PB，DB〉＝PB·DB|PB|·|DB|＝422×22＝12，∴〈PB，DB〉＝π3，∴BD和平面ADMN所成的角为π6.[例3](新课标全国卷)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.(1)证明：DC1⊥BC；(2)求二面角A1­BD­C1的大小．[解](1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.又AC＝12AA1，可得DC21＋DC2＝CC21，所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.BC⊂平面BCD，故DC1⊥BC.(2)由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直．以C为坐标原点，CA的方向为x轴的正方向，|CA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz.由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)．则1AD＝(0,0，－1)，BD＝(1，－1,1)，DC1＝(－1,0,1)．设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则n·BD＝0，n·1AD＝0，即x－y＋z＝0，z＝0.可取n＝(1,1,0)．同理，设m是平面C1BD的法向量，则m·BD＝0，m·DC1＝0.可取m＝(1,2,1)．从而n，m＝n·m|n|·|m|＝32.故二面角A1­BD­C1的大小为30°.[小结]1．空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝＝直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝＝二面角设二面角α­l­β的平面角为θ，平面α，β的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝＝|cos〈a，b〉||a·b||a||b||cos〈a，n〉||a·n||a||n||cos〈n1，n2〉||n1·n2||n1||n2|(0，π2](0，π2][0，π]