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第16课时二次函数与方程、不等式第16课时┃二次函数的应用考点聚焦考点1二次函数的应用考点聚焦京考探究二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题．第16课时┃二次函数的应用考点1建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键．考点聚焦京考探究考情分析京考探究第16课时┃二次函数的应用考点聚焦京考探究热考一用二次函数的性质解决实际问题热考京讲第16课时┃二次函数的应用例1[2014·青岛]某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量)考点聚焦京考探究第16课时┃二次函数的应用解：(1)y＝(x－50)[50＋5(100－x)]＝(x－50)(－5x＋550)＝－5x2＋800x－27500.∴y＝－5x2＋800x－27500.(2)y＝－5x2＋800x－27500＝－5(x－80)2＋4500.∵a＝－5＜0，∴抛物线开口向下．∴当x＝80时，y最大值＝4500.即销售单价定为80元时，每天的销售利润最大，最大利润为4500元．考点聚焦京考探究第16课时┃二次函数的应用(3)当y＝4000时，－5(x－80)2＋4500＝4000，解这个方程，得x1＝70，x2＝90.∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得50(－5x＋550)≤7000，解这个不等式，得x≥82，∴82≤x≤90.即销售单价应该控制在82元至90元之间．考点聚焦京考探究方法点析第16课时┃二次函数的应用解二次函数实际应用题的基本步骤(1)“一找”：找出实际问题的变量，并用字母表示变量；(2)“二表”：用含自变量的代数式表示其他量；(3)“三解”：用解析式表示等量关系，利用二次函数的知识解决问题；(4)“四验”：检验结果的合理性，对问题加以拓展和深化．实际问题中自变量的取值范围受实际条件限制，所以要检验计算结果的合理性，得出实际问题的正确答案．考点聚焦京考探究热考二在坐标系中研究现实生活中的抛物线第16课时┃二次函数的应用例2如图16－1是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽度为4m．当水面下降1m时，水面宽度增加了多少？(结果保留根号)考点聚焦京考探究第16课时┃二次函数的应用解：建立如图所示的坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2(a0)．将A(2，－2)代入解析式，解得a＝－12，∴y＝－12x2.当y＝－3时，x＝±6.此时水面宽度为26m，∴水面宽度增加了(26－4)m.考点聚焦京考探究变式题第16课时┃二次函数的应用有一抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，将它的纵截面放在如图16－2所示的平面直角坐标系中，则抛物线的函数解析式为____________________．y＝－125(x－20)2＋16考点聚焦京考探究方法点析第16课时┃二次函数的应用这是一类“形状是抛物线”的题，这类题比“规律是二次函数”的题(如图形、利润等)直观，需建立适当坐标系，用待定系数法确定函数解析式，再用解析式解决有关问题．这类题还包括如喷泉、掷铅球、涵洞、跳水运动等问题．实际问题中建立直角坐标系后，一定要注意坐标系中的点与实际问题中量的关系，尤其是用负数表示实际问题中的量时．考点聚焦京考探究思想方法第16课时┃二次函数的应用转化思想——化实际问题到数学问题二次函数的应用常考的两种类型“用二次函数的性质解决实际问题”“在坐标系中研究现实生活中的抛物线”均为将实际问题转化到数学问题．将数学和生活实际进行有效地融合和链接，常见的探究问题有“矩形面积”“销售利润”“拱桥”等．考点聚焦京考探究热考三二次函数在几何图形中的应用第16课时┃二次函数的应用例3如图16－3，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝35(x2＋bx＋c)过点A(1，0)，B(0，3)，这条抛物线的对称轴与x轴交于点C，点P为线段CB上一个动点(不与点B，C重合)，点D为此抛物线对称轴上一点，且∠CPD＝60°.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m，△PCD的面积为S，求S与m之间的函数关系式；(3)过点P作PE⊥DP，连接DE，F为DE的中点，试求线段BF的最小值．考点聚焦京考探究第16课时┃二次函数的应用解：(1)依题意，得错误!解得错误!∴抛物线的解析式为y＝35(x2－6x＋5)，即y＝35x2－635x＋3.考点聚焦京考探究第16课时┃二次函数的应用(2)∵抛物线的对称轴为直线x＝3，∴C(3，0)．又∵B(0，3)，∴OC＝3，OB＝3.∴tan∠OCB＝OBOC＝33，∴∠OCB＝30°，∴∠PCD＝60°.又∵∠CPD＝60°，∴∠CDP＝60°.∴△PCD是等边三角形．过点P作PQ⊥x轴于点Q，PG∥x轴，交CD于点G.∵点P的横坐标为m，∴OQ＝m，CQ＝3－m.∴CP＝23（3－m）3＝CD，PG＝CQ＝3－m.∴S△PCD＝12CD·PG＝12·23（3－m）3·(3－m)＝33(3－m)2.即S＝33m2－23m＋33(0m3)．考点聚焦京考探究第16课时┃二次函数的应用(3)连接PF，CF.∵PE⊥DP，F为DE的中点，∴PF＝12DE＝DF.又∵CP＝CD，CF＝CF，∴△CPF≌△CDF，∴∠PCF＝∠DCF，∴点F在∠PCD的平分线上，∴BF的最小值为点B到直线CF的距离．∵∠OCB＝∠BCF＝30°，∴点B到直线CF的距离等于OB的长，即BF的最小值为3.考点聚焦京考探究方法点析第16课时┃二次函数的应用二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题相互转化，运用三角函数、相似、全等、圆来解决问题，充分运用几何知识，求解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及最大面积、最短距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运用函数性质求解．考点聚焦京考探究变式题第16课时┃二次函数的应用如图16－4，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A，B，C，D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E，F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝xcm.(1)若折成的包装盒恰好是正方体，试求这个包装盒的体积V；(2)某广告商要求包装盒的表面积(不含下底面)S最大，试问x应取何值？考点聚焦京考探究第16课时┃二次函数的应用[解析](1)根据已知得出这个正方体的底面边长a＝2xcm，EF＝2acm，再利用AB＝24cm，求出x，进而可得出这个包装盒的体积V；(2)利用已知表示出包装的表面积，进而利用函数最值求出即可．解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝2xcm，EF＝2a＝2x(cm)，∴x＋2x＋x＝24，x＝6，a＝62cm，V＝a3＝(62)3＝4322(cm3)．考点聚焦京考探究第16课时┃二次函数的应用(2)设包装盒的底面边长为ycm，高为hcm，则y＝2x，h＝24－2x2＝2(12－x)，∴S＝4yh＋y2＝42x·2(12－x)＋(2x)2＝－6x2＋96x＝－6(x－8)2＋384，∵0x12，∴当x＝8时，S取得最大值384cm2.考点聚焦京考探究