3.3-圆周角和圆心角的关系(1)

圆周角和圆心角的关系九年级数学(下)第三章圆3.3学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟，学思疑问才会感悟生活的乐趣、数学学习的快乐！类比圆心角探知圆周角在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间的关系.演示圆周角与圆心角有何关系?圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。条件：圆周角与圆心角对同一条弧。结论：圆周角是圆心角的一半。演示老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.思考与巩固1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.●OBAC解:∠A=∠BOC=25°.21练习、在下列各图中，∠α１＝，∠α２＝，α１７５ºOCABα２１２０ºOCAB150°60°∠α３＝，∠α４＝.α３３０ºOCABD１１０ºα４OCAB120°140°拓展练习1.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?●O●OCABDBACDE●OABC(1)(2)(3)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。演示推论1中，⑴“同弧或等弧”能否改为“同弦或等弦”？⑵“同圆或等圆”这一条件能否省去？不能不能演示返回拓展练习●O●OCABDBACDE●OABC(1)(2)(3)2.如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗?推论2：直径所对的圆周角是直角；反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。演示拓展练习1.如图(1),在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小.●O●OCABDBACDE●OABC(1)(2)(3)推论3：圆内接四边形对角互补。对角互补的四边形内接于圆。演示OBACD1、如图，A、B、C、D四点共圆，找出四边形ABCD的对角线把4个角分成的8个角中，哪些是相等的角？图中有几对相似三角形？基础练习：演示返回.,,,6,10,.2的长和求于的平分线交圆为弦为中直径已知在圆如图BDADBCDOACBcmACcmABOOADBC解答下列各题：基础练习：演示返回●ODABC3.如图,AB是⊙O的直径，BD是弦,延长BD到C,使DC=BD,AC与AB的大小有什么关系?为什么?返回1.如图，⊙Ｏ的弦AC、BD相交于⊙Ｏ内一点Ｐ.求证：OCABDPE四、思考下列各题,并记住结论：21APB(的度数+的度数)⌒AB⌒CD演示返回OABPDC2.如图，⊙Ｏ的弦AC、BD相交于⊙Ｏ外一点Ｐ.求证：四、思考下列各题,并记住结论：21APB(的度数—的度数)⌒AB⌒CD演示返回三.小结1、本课时学习了圆周角定理（包括三种情形）定理也可理解成:⑴一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的２倍；⑵圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.2、角与弧有着密切的关系，因此在证明角的关系时，可考虑证明角所对的弧的关系。3、圆周角定理的证明应用了数学中的分类思想推论3：圆内接四边形对角互补。对角互补的四边形内接于圆。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.总结：推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。结束寄语•要养成用数学的语言去说明道理,用数学的思维去解读世界的习惯.1、探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？2、90°的圆周角所对的弦是否是直径？线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？探究：直径或半圆所对的圆周角的度数证明：因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°，7.5圆周角（一）教学目的：1、使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及三个推论，并能运用这些知识进行有关的计算和证明；2、使学生掌握利用直径所对的圆周角是直角作辅助线的方法；3、使学生认识到圆周角定理及其推论是证明和圆有关的角相等的重要定理，培养学生分析问题、解决问题以及综合运用知识的能力。教学重点：圆周角定理及三个推论的理解与掌握。教学难点：圆周角定理及三个推论的灵活运用及辅助线的添加。一.复习图中的∠AOB叫什么角？它与所对的弧AB的度数有何关系？OAB∠AOB叫圆心角∠AOB的度数=弧AB的度数演示二.新课圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角.POBA∠P就是圆周角定义满足两个条件：⑴顶点在圆上；⑵两边与圆相交（两边是弦）演示练习：1.判断：所有顶点在圆上的角都叫圆周角.（）POABPOBA×2.下列图形中的角是否圆周角？OPABDCOABPOBAPOBA3.判断下列命题是否正确？⑴圆周角的顶点一定在圆上。（）⑵顶点在圆上的角是圆周角。（）⑶圆周角的两边都和圆相交。（）⑷两边都和圆相交的角是圆周角。（）√×√×圆内角：顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角；POBAPOBA圆外角：顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角.演示ABCOABCCOOAB...DD●O●O●OABCABCABC一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?演示圆周角和圆心角的关系1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，●OABC∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC=∠AOC.21你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.老师期望:你可要理解并掌握这个模型.演示如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?老师提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.21你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.ABCD∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,2121圆周角和圆心角的关系演示如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?老师提示:能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.21你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,2121ABC圆周角和圆心角的关系演示ABCOABCCOOABDD圆周角和圆心角的关系概括为:演示圆周角定理综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.即∠ABC=∠AOC.21●O●O●OABCABCABC演示1.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∠ACB=∠AOB12∠BAC=∠BOC2∠AOB=2∠BOCAOBC∠ACB=2∠BAC1规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理分析:AB所对圆周角是∠ACB,圆心角是∠AOB.则∠ACB=∠AOB.BC所对圆周角是∠BAC,圆心角是∠BOC,则∠BAC=∠BOC⌒⌒21___21___圆周角在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.读一读P101圆周角：顶点在圆上,它的两边分别与圆还有交点,像这样的角,叫做圆周角.●OBACBACBACBACBACBACBAC圆周角：顶点在圆上,它的两边分别与圆还有交点,像这样的角,叫做圆周角.当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?.想一想P101●OBACBACBACBACBACBACBACDEDE圆周角推论3：圆内接四边形对角互补。对角互补的四边形内接于圆。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.总结：推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径。推论4如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。