2.4-2.5麦克斯韦速度分布

第二章作业：2.4.1、2.4.2§2.4麦克斯韦速度分布§2.5气体分子碰撞数及其应用速度矢量:某时刻，矢量大小代表分子速度大小，矢量方向代表分子速度的方向。一个分子仅有一个速度矢量。一、速度空间§2.4麦克斯韦速度分布麦克斯韦先导出速度分布，然后再从速度分布得到速率分布的。本节介绍麦克斯韦速度分布。为了说明速度分布的含义，先介绍速度空间的概念。描述气体分子的速度的矢量。yzxov1.速度空间oyzxovxvyvzv代表点：以分子的速度矢量沿x、y、z方向的投影vx、vy、vz作直角坐标图，把所有分子速度矢量的起始点都平移到原点O上。平移后，以矢量的箭头端点的点来表示这一矢量，而把矢量符号抹去，这样的点称为代表点。速度空间:速度方向和大小的坐标系称为速度空间。说明：速度空间是人们想像中的空间坐标，所描述的不是分子的空间位位置，而是速度的大小与方向。以速度分量vx、vy、vz为坐标轴，以从原点向代表点所引矢量来表示分子若把某一瞬时所有分子所对应的速度矢量代表点都标在速度空间中，就构成代表点在速度空间中的一种分布图形，如图所示。2.速度空间中代表点的分布速度空间代表点分布与靶点分布类似。x→x+dx，y→y+dy范围内的靶点的概率概率：F(x,y)dxdy在三维速度空间中，在vx→vx+dvx，vy→vy+dvy，vz→vz+dvz区间内,划出一个体积为dvxdvydvz的微分元，如图所示。数出在这微分元中的代表点的数目dN(vx,vy,vz)，并把称为坐标为vx、vy、vz处的速度分布概率密度。vxvyvzovdvxdvydvzzyxzyxzyxvvvNvvvNvvvfddd),,(d),,(意义：d(,,)(,,)dddxyzxyzxyzNvvvfvvvvvvN表示在dvxdvydvz小体积元中代表点的概率。表示在dvxdvydvz小体积元中代表点的相对密集程度。意义：首先，求出速度空间中在vx→vx+dvx范围内分子的概率:设在N个分子中速度x分量vx落在vx→vx+dvx范围内而vyvz在任意范围内的分子数为dN(vx)。则如图所示，即，不管速度的y、z分量如何，只要速度x分量在vx到vx+dvx范围内，则所有这些分子的代表点都落在此很薄的无穷大平板中。如何求出dN(vx,vy,vz)/N?类比于靶点分布中求出dN(x,y)/N。在速度空间中一个垂直于vx轴的厚度为dvx的无穷大平板内代表点数即为dN(vx)。则dN(vx)/N表示分子的速度处于vx→vx+dvx而vy、vz为任意值范围内的概率。显然，dN(vx)/N这一概率与板的厚度dvx成正比。并有dN(vx)/N称为气体分子x方向速度分量的概率分布函数。f(vx)称为气体分子x方向速度分量的概率密度。同理，可得到气体分子y、z方向速度分量的概率分布函数：根据处于平衡态的气体的分子混沌性假设，f(vx)、f(vx)、f(vx)应具有相同形式。()()dxxxdNvfvvN()()dyyydNvfvvN()()dzzzdNvfvvN然后，求出速度空间中vx→vx+dvx，vy→vy+dvy范围内分子的概率:显然，这些分子的代表点都落在一根平行于vz轴、截面积为dvxdvy的无穷长的方条中，如图所示，设代表点数目为dN(vx,vy)。因为，分子落在垂直于vx轴的平板内的概率是f(vx)dvx;分子落在垂直于vy轴的平板内的概率是f(vy)dvy。由相互独立的同时事件概率相乘法则可知，分子落在方柱体内的概率为:(,)()d()dxyxxyydNvvfvvfvvN最后，求出速度空间中vx→vx+dvx，vy→vy+dvy，vz→vz+dvz范围内的概率：只需在图中再作一垂直于vz轴的、厚度为dvz的无穷大薄平板。平板与柱体相交截得一体积为dvxdvydvz的小立方体，计算出在小立方体中的代表点数dN(vx、vy、vz)。由相互独立的同时事件概率相乘法则可知，分子落在小立方体体内的概率为:d(,,)()d()d()dxyzxxyyzzNvvvfvvfvvfvvNd(,,)(,,)dddxyzxyzxyzNvvvfvvvvvvN(,,)xyzxyzfvvvfvfvfv()d1yyfvv1d)(zzvvf归一化条件:()d1xxfvv(,,)ddd()d()d()d1xyzxyzxxyyzzfvvvvvvfvvfvvfvv麦克斯韦最早用概率统计的方法导出了理想气体分子的速度分布，可表示为3/2222(,,)ddd()expddd22xyzxyzxyzxyzfvvvvvvmvvvmvvvkTkT1/22()dexpd22iiiimvmfvvvkTkT麦克斯韦速度分量分布可以表示为其中i可分别代表x、y、z。(,,)ddd()d()d()dxyzxyzxxyyzzfvvvvvvfvvfvvfvv二、麦克斯韦速度分布欲求分子速度的x分量在vx到vx+dvx内,而vy、vz任意的概率f(vx)dvx只要对vy、vz积分后求出：()d()d()d()dxxxxyyzzfvvfvvfvvfvv21/21/2()exp()d()222xxmvmmvkTkTkT22expd()expd222yzyzmvmvmvvkTkTkT21/2()d()expd22xxxxmvmfvvvkTkT用定积分公式知上式中两个积分都是1，故x方向速度分量的概率分布曲线如图所示：21/2d()()d()expd22xxxxxNvmvmfvvvNkTkT它对称于纵轴，图中打上斜线狭条面积即其中dN（vx）是所有速度分量在vx到vx+dvx的总分子数。最后说明，由于麦克斯韦在导出麦克斯韦速度分布律过程中没有考虑到气体分子间的相互作用，故这一速度分布律一般适用于平衡态的理想气体。麦克斯韦（JamesClerkMaxwell，1831～1879）英国物理学家，经典电磁理论的奠基人。1831年6月13日出生于爱丁堡。父亲受的是法学教育，但思想活跃，爱好科学技术，使他从小就受到科学的熏陶。10岁那年进了爱丁堡中学，由于讲话带有很重的乡音和衣着不人时，在班上经常被排挤、受讥笑。但在一次全校举行的数学和诗歌的比赛中，麦克斯韦一人独得两个科目的一等奖。他以自己的勤奋和聪颖获得了同学们的尊敬。他的学习内容逐渐地突破了课本和课堂教学的局限。他的关于卵形曲线画法的第一篇科学论文发表在《爱丁堡皇家学会会刊》上，他采用的方法比笛卡儿的方法还简便。那时他仅仅15岁。1847年入爱丁堡大学听课，专攻数学。但他很重视参加实验，广泛涉猎电化学、光学、分子物理学以及机械工程等等。他说：“把数学分析和实验研究联合使用得到的物理科学知识，比之一个单纯的实验人员或单纯的数学家所具有的知识更加坚实、有益而牢固。”1850年考人剑桥大学，1854年以优异成绩毕业并获得了学位，留校工作。1856年起任苏格兰阿伯丁的马里沙耳学院的自然哲学讲座教授，直到1874年。经法拉第举荐，自1860年起任伦敦皇家学院的物理学和天文学教授。1871年起负责筹划卡文迪什实验室，随后被任命在剑桥大学创办卡文迪什实验室并担任第一任负责人。1879年11月5日麦克斯韦因患癌症在剑桥逝世，终年仅48岁。*四、从速度分布导出速率分布：三、麦克斯韦速度分布我们知道,速度空间是能够同时表示分子的速度矢量的大小和方向的直角坐标系。在任一瞬时，一个气体分子在速度空间中与一个代表点相对应，气体的N个分子对应有N个代表点。这样就构成代表点在速度空间中的一种分布图形，如图所示。P麦克斯韦速率分布表示速率介于v→v+dv范围内的分子的概率，不管方向。速度空间中速率介于v→v+dv范围内的分子的代表点都落在以原点为球心，半径为v的厚度为dv的一薄层球壳中的概率，如图所示。2d()4dvNDvvv说明代表点的数密度D是球对称的，D仅是离开原点的距离v的函数。设代表点的数密度为D(v)。在球壳内的代表点数dNv应是D(v)与球壳体积的乘积根据分子混沌性假设，气体分子速度没有择优取向，在各个方向上应该是等概率的，在速度空间中，在速度分量vx、vy、vz附近的小立方体dvxdvydvz区间范围内的代表点数（即分子数）为：Nf(vx,vy,vz)dvxdvydvz，从而代表点数密度（单位体积中的代表点数）为：vvvDNvd4)(d2将上二式代入到2223/2()(,,)(,,)()exp()22xyzxyzxyzmvvvmDvvvNfvvvNkTkT)(),,(vDvvvDzyx若2222++xyzvvvv则有vxvyvzovdvxdvydvz此即是麦克斯韦速率分布.23/22d()d4()exp()d22vNmmvfvvvvNkTkT23/22d()exp()4d22vmmvNNvvkTkT23/224()exp()d22mmvNvvkTkT五、相对vp的速度分量分布与速率分布、误差函数pxxvvu令：122d()()exp()d(,,)22iiiiNvmvmfvvixyzNkTkT2d()1dxuxxNueuN在求分子速度x方向分量小于某一数值vx的分子的百分比时：200(0)()1dxxxvuuxxxNvdNveuNN数理统计中称上式为误差函数，记作erf(x)，可查表P77(0)1erf()2xNvuN由得202()erfdxxexxMRTmkT22pv相对vp的速率分布pvuv令：3222d()4π()exp()2π2iNvmmvfvvdvNkTkT22d4duuNeuuN利用该式可求得速率在0-v范围内的分子数为：22(0)[erf()exp()]πNvNuu上式课下自己证明!由得MRTmkT22pv*§2.5气体分子碰撞数及其应用三、简并压强四、泻流及其应用*自学：一、气体分子碰壁数证明二、气体压强公式的导出