2014创新设计(苏教版)第二章 第2讲 函数的单调性与最值

抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考第2讲函数的单调性与最值抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考点梳理(1)单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，①若__________，则f(x)在区间D上是增函数；②若__________，则f(x)在区间D上是减函数．(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是_______或________，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．1．函数的单调性f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)增函数减函数抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有_________，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有___________，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．2．函数的最值f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考一个命题规律求函数的单调区间及单调性的应用，如应用单调性求值域、比较大小、解(或证明)不等式等．运用定义法或导数法判断或证明函数的单调性等．函数的单调性是高考的热点问题．【助学·微博】抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考函数单调性的四种判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考答案－1考点自测1．(2013·南京鼓楼模拟)函数f(x)＝1＋x－1－x的最大值为M，最小值为m，则Mm＝________.解析由1＋x≥0，1－x≥0得－1≤x≤1.因为f(x)在[－1,1]上是单调增函数，所以M＝f(1)＝2，m＝f(－1)＝－2，所以Mm＝－1.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解析因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且x2＋1≥2xx(x0)，所以f(x2＋1)f(x)．答案f(x2＋1)f(x)解析因为f(x)是定义域(0，＋∞)上的增函数，所以由f(x2＋2)≤f(3x)，得x2＋2≤3x，即x2－3x＋2≤0，解得1≤x≤2.答案[1,2]2．(2012·连云港模拟)已知函数f(x)＝x－kx(k0，x0)，则f(x2＋1)与f(x)的大小关系是________．3．(2013·连云港模拟)已知函数f(x)＝2x＋lnx，若f(x2＋2)≤f(3x)，则x的取值范围是________．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解析因为2x与log2x都是[1,2]上的增函数，所以f(x)＝2x＋log2x是[1,2]上的增函数，所以f(1)≤f(x)≤f(2)，即2≤f(x)≤5.答案[2,5]4．(2012·镇江市调研)函数f(x)＝2x＋log2x(x∈[1,2])的值域为________．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解析f(x)在[a，＋∞)上是减函数，对于g(x)，只有当a0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是0＜a≤1.答案(0,1]5．(2013·济南外国语学校检测)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考审题视点可利用定义或导数法讨论函数的单调性．考向一函数单调性的判断【例1】试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．解设－1x1x21，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝ax2－x1x1－1x2－1抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．[方法总结]证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．【训练1】已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)证明任设x1x2－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝x1－x2x1＋2x2＋2.∵(x1＋2)(x2＋2)0，x1－x20，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考∵a0，x2－x10，∴要使f(x1)－f(x2)0，只需(x1－a)(x2－a)0恒成立，∴a≤1.综上所述知0a≤1.(2)解任设1x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝ax2－x1x1－ax2－a，抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．考向二函数单调性的应用【例2】(2013·鞍山模拟)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有fa＋fba＋b0成立．(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：fx＋12f1x－1；抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解(1)任取x1，x2∈[－1,1]，且x1x2，则－x2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝fx1＋f－x2x1＋－x2·(x1－x2)，由已知得fx1＋f－x2x1＋－x20，x1－x20，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴f(x)在[－1,1]上单调递增．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴x＋121x－1，－1≤x＋12≤1，－1≤1x－1≤1.∴－32≤x＜－1.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[方法总结]函数单调性的应用，主要有两个方面，即应用单调性求字母取值范围，二是应用单调性比较数值大小或解函数不等式．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练2】(1)已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，2x－x2，x0，若f(1－a2)f(a)，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝2－axa－1(a≠1)是区间(0,1]上的减函数，则实数a的取值范围为________．解析(1)画图象或求导，可知函数f(x)是R上的增函数，于是由f(1－a2)f(a)，得1－a2a，即a2＋a－10，解得－1－52a－1＋52.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)由题意，当x＝1时，2－ax＝2－a≥0，所以a≤2且a≠1，a≠0.若a0，则2－ax是增函数，要使f(x)是区间(0,1]上的减函数，必有a－10，即a1.所以a0.若a0，则2－ax是减函数，要使f(x)是区间(0,1]上的减函数，必有a－10，即a1.所以1a≤2.综上，得a的取值范围是(－∞，0)∪(1,2]．答案(1)－1－52，－1＋52(2)(－∞，0)∪(1,2]抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考向三函数的最值及其应用【例3】已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．解(1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝72.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[方法总结]不等式m＞f(x)恒成立⇔m＞f(x)max，m＜f(x)恒成立⇔m＜f(x)min.(2)当x∈[1，＋∞)时，由f(x)＝x2＋2x＋ax0恒成立，得x2＋2x＋a0，即a－x2－2x在x∈[1，＋∞)上恒成立．因为当x＝1时，(－x2－2x)max＝－3，所以a－3.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练3】若对任意x∈(0,1]，函数f(x)＝x|x－a|－2的值恒为负数，则实数a的取值范围是________．答案(－1,3)解析由f(x)＝x|x－a|－20，x∈(0,1]，得|x－a|2x，即x－2xax＋2x.因为x－2x在(0,1]上单调递增，x＋2x在(0,1]上单调递减，所以x＝1时，x－2xmax＝－1，x＋2xmin＝3，所以－1a3.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考定义新的函数有关的概念，是近几年我省高考的一大亮点，无论填空题还是解答题都可能出现，解这类问题关键是化归，即将不熟悉的新问题化归到一般性的常规的数学问题．热点突破5函数中创新性问题的求解方法抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考一、定义新的函数概念与已知函数原有概念的关系【示例】(2011·四川卷)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数，下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[审题与转化]第一步：本题考查“单函数”的定义，映射的概念，四种命题间的关系．第二步：“单函数”与“单调函数”的区别与联系：f(x)＝1x是定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上单函数，但不是单调函数，反之，若f(x)在定义域A上是单调函数，则它一定是单函数．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[规范解答]第三步：①对于函数f(x)＝x2，取x1＝1，x2＝－1可知不正确．②该命题为定义的逆否命题与原命题等价，是真命题．③由于f(x)是单函数，所以对于集合B中的任意元素b，至多只有一个原象，所以正确．④f(x)＝x2在区间[0，＋∞)上具有单调性，但它在R上不是单函数，故填②③.[反思与回顾]第四步：本题考查学生对新概念“单函数”的理解及其性质的应用，考查学生对所学知识“映射”与新概念之间的联系及应用．属于较难题．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)求证：函数f(x)具有性质P(b)；(2)求函数f(x)的单调区间．[审题与转化]第一步：由性质P(a)的定义直接验证．二、定义新的函数性质验证原函数是否具有该性质【示例】(2010·江苏卷)设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数