2014创新设计(苏教版)第六章 第1讲 数列的概念与简单表示法

抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考第1讲数列的概念与简单表示法抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考考点梳理(1)定义：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系可以用_________来表示，那么这个公式就叫做数列的通项公式，记为an＝f(n)(n∈N*)．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．(2)数列的递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．1．数列的通项公式一个公式抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数_____无穷数列项数_____按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1＞an其中n∈N＋递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列an的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…有限无限抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考3.数列前n项和Sn与通项an的基本关系已知Sn，则an＝________________在数列{an}中，若an最大，则an≥an－1，an≥an＋1.若an最小，则an≤an－1，an≤an＋1.S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考一个考情分析数列的通项公式及前n项和是高考考查的重点及热点，常以填空的形式考查数列的通项公式．而前n项和Sn与通项an相结合的题目，往往以解答题形式出现．题型比较全面，难度以中档题为主，重点考查学生的运算能力及抽象概括能力．由递推式求通项an的三种方法(1)an＋1－an＝f(n)型，采用叠加法；(2)an＋1an＝f(n)型，采用叠乘法；(3)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决．【助学·微博】抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考解析1,3,7,15分别都加上一个1，则为2,4,8,16，∴通项公式不难发现为an＝2n－1.答案an＝2n－1考点自测1．(教材改编题)已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项公式为________．抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考①数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数；②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的所有序号是________．解析由数列与函数的关系知①对，③对，由数列的分类知②不对，数列的通项公式不是唯一的，④不对．答案①③2．下列对数列的理解有四种：抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考解析法一由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….由此可得a100＝－1.法二an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1，两式相加可得an＋3＝－an，an＋6＝an，∴a100＝a16×6＋4＝a4＝－1.答案－13．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a100＝________.抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考答案(2,3)4．(2012·无锡二模)设a0，若an＝3－an－3n≤7，an－6n7，且数列{an}是递增数列，则实数a的范围是________．解析由{an}是递增数列，得3－a0，a1，a8a7，即1a3，a23－a×7－3，解得2a3.抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考解析因为n与n＋10的个位数字相同且周期为10，又a1＝0，a2＝4－2＝2，a3＝9－3＝6，a4＝6－4＝2，a5＝5－5＝0，a6＝6－6＝0，a7＝9－7＝2，a8＝4－8＝－4，a9＝1－9＝－8，a10＝0，所以a1＋a2＋…＋a10＝0，即a1＋a2＋…＋a2012＝a1＋a2＝2.答案25．(2012·苏锡常镇四市调研(一))设u(n)表示正整数n的个位数，an＝u(n2)－u(n)，则数列{an}的前2012项和等于________．抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考考向一由数列的前几项求数列的通项【例1】写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….解(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，24，…，所以an＝2n－12n.抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为an＝－1n，n为正奇数，3n，n为正偶数.(4)将数列各项改写为：93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1，104－1，…，所以an＝13(10n－1)．抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考[方法总结]根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征，把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征，若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考【训练1】已知数列{an}的前四项分别为1,0,1,0，给出下列各式：答案①③④①an＝1－－1n2；②an＝1＋－1n2；③an＝sin2nπ2；④an＝1－cosnπ2；⑤an＝1n为正偶数0n为正奇数；⑥an＝1＋－1n＋12＋(n－1)(n－2)．其中可以作为数列{an}的通项公式的有________(填序号)．抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考(1)求a1，a2的值；考向二数列的单调性【例2】(2012·四川卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an＝S2＋Sn对一切正整数n都成立．(2)设a10，数列lg10a1an的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值．解(1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，①取n＝2，得a22＝2a1＋2a2，②由②－①，得a2(a2－a1)＝a2.③若a2＝0，由①知a1＝0.若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考由①④解得，a1＝2＋1，a2＝2＋2；或a1＝1－2，a2＝2－2.综上可得，a1＝0，a2＝0；或a1＝2＋1，a2＝2＋2；或a1＝1－2，a2＝2－2.(2)当a10时，由(1)知a1＝2＋1，a2＝2＋2.当n≥2时，有(2＋2)an＝S2＋Sn，(2＋2)an－1＝S2＋Sn－1，∴(1＋2)an＝(2＋2)an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴an＝a1(2)n－1＝(2＋1)·(2)n－1.令bn＝lg10a1an，则bn＝1－lg(2)n－1＝1－12(n－1)lg2＝12lg1002n－1.抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考∴数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－12lg2)，从而b1b2…b7＝lg108lg1＝0，当n≥8时，bn≤b8＝12lg10012812lg1＝0，故n＝7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为T7＝7b1＋b72＝71＋1－3lg22＝7－212lg2.抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考[方法总结](1)本题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力，并考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想．(2)计算时一定要细心．若an计算错误，则bn就不能判定为等差数列，从而无法求和．抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；【训练2】已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.(2)设cn＝a2n·bn，证明：当且仅当n≥3时，cn＋1cn.解(1)由于a1＝S1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，显然a1符合上式，所以an＝4n(n∈N*)．由b1＝2－b1，得b1＝1，当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝bn－1－bn，所以2bn＝bn－1，所以数列{bn}为等比数列，其首项为1，公比为12.所以bn＝12n－1.抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考(2)由(1)，知cn＝a2n·bn＝16n2·12n－1，法一由cn＋1－cn＝16(n＋1)2·12n－16n2·12n－1＝16·12n[(n＋1)2－2n2]＝16·12n[－(n－1)2＋2]，当n≥3时，cn＋1－cn0，从而cn＋1cn.法二因cn＋1cn＝16n＋12·12n＋1－116n2·12n－1＝n＋122n2，若cn＋1cn1，即n＋122n21，所以n1＋2，即n≥3时，cn＋1cn1恒成立．又cn0，因此当且仅当n≥3时，cn＋1cn.抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.审题视点当n＝1时，由a1＝S1，求a1；当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1消去Sn，得an＋1与an的关系．转化成由递推关系求通项．解(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.考向三由an与Sn的关系求通项an【例3】已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考[方法总结]数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考【训练3】(1)(2012·南通一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－an，则数列{an}的通项公式为________．(2)已知数列{an}的前n项和Sn＋an＝2－12n－1(n为正整数)．则数列{an}的通项公式为________．解析(1)当n＝1时，由a1＝S1＝2－a1，得a1＝1；当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝(2n－an)－[2(n－1)－an－1]＝2－an＋an－1，即an＝12an－1＋1，设an＋m＝12(an－1＋m)，∴an＝12an－1－12m，∴m＝－2，∴数列{an－2}构成首项为－1，公比为12的等比数列，∴an－2＝－1·12n－1，∴an＝2－12n－1.抓住3个考点突破4个考向揭秘3年高考(2)由Sn＋an＝2－12n－1，得Sn＋1＋an＋1＝2