2014创新设计高中数学(苏教版)第七章 第1讲 一元二次不等式及其解法

抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考第1讲一元二次不等式及其解法抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考点梳理(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．1．一元二次不等式的求解步骤抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考2．一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系如下表：抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}——————__ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集____________—__b2ax|x≠－b2a{x|x1＜x＜x2}∅∅R抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考一个命题解读一元二次不等式、分式不等式及其他不等式的解法是高考考查的热点，以填空的形式出现在高考中．而不等式的解法与函数、数列、平面向量、解析几何、导数等相结合的问题，则以解答题形式呈现．尤其是含参数的不等式及恒成立问题，考查得更多一些．两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集，不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行讨论，分类要不重不漏．【助学·微博】抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考1．(2012·南京学情分析)若不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是________．解析由题意得a2－2a－1＜x2－2x＋3＝(x－1)2＋2恒成立，所以a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.答案{a|－1＜a＜3}考点自测抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考2．(2012·扬州调研)不等式(|x|－1)(x－2)＞0的解集是________．解析若x≥0，则由x－1x－2＞0，x≥0，得0≤x＜1或x＞2；若x＜0，则由x＋1x－2＜0，x＜0，得－1＜x＜0.综上所述，－1＜x＜1或x＞2.答案(－1,1)∪(2，＋∞)抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考答案283．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为x－2＜x＜14，则ab＝________.解析∵－2，14是方程ax2＋bx－2＝0的两根，∴－2a＝－2×14＝－12，－ba＝－74，∴a＝4，b＝7.∴ab＝28.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考4．(2012·南京模拟)已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x2＋2x＋a≥0}，A、B的交集不是空集，则实数a的取值范围是________．解析若A，B的交集是空集时，即x2＋2x＋a＜0在1≤x≤2上恒成立．令f(x)＝x2＋2x＋a，因为对称轴为x＝－1，所以y＝f(x)在集合A上递增，所以f(2)＜0即可，所以a＜－8，所以A，B的交集不是空集时，实数a的取值范围是[－8，＋∞)．答案[－8，＋∞)抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考5．(2012·苏北四市调研一)已知p：x2－4x－50，q：x2－2x＋1－m20(m0)，若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为________．解析p真：x－1或x5，q真：x1－m或x1＋m，因为p是q充分不必要条件，所以1－m≥－1，1＋m≤5，且等号不能同时成立，解得m≤2，即m的最大值为2.答案2抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)若f′(x)＋7a＝0仅有一个解，求f′(x)的表达式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．考向一一元二次不等式的解法及其应用【例1】(2012·江苏泰州模拟)已知f(x)是三次项系数为a3的三次函数，且不等式f′(x)－9x0的解集是(1,2)．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解设f′(x)＝ax2＋bx＋c，则不等式ax2＋(b－9)x＋c0的解集是(1,2)．所以a0，且1＋2＝－b－9a，1×2＝ca，即b＝9－3a，c＝2a，此时f′(x)＝ax2＋3(3－a)x＋2a.(1)方程f′(x)＋7a＝0，即ax2＋3(3－a)x＋9a＝0，令Δ＝9(3－a)2－36a2＝0，得a＝1或a＝－3(舍)，所以f′(x)＝x2＋6x＋2.(2)令f′(x)＝ax2＋3(3－a)x＋2a≥0恒成立，故Δ＝9(3－a)2－8a2≤0，得27－182≤a≤27＋182.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[方法总结]解一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1＜x＜4}，求实数m的值．【训练1】(2012·菏泽模拟)已知集合A＝x6x＋1≥1，x∈R，B＝{x|x2－2x－m＜0}．解(1)因为A＝x6x＋1≥1，x∈R＝xx－5x＋1≤0，x∈R＝{x|－1＜x≤5}，又当m＝3时，B＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，所以A∩(∁RB)＝{x|－1＜x≤5}∩{x|x≤－1，或x≥3}＝{x|3≤x≤5}．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)由(1)知A＝{x|－1＜x≤5}，而B＝{x|x2－2x－m＜0}，且A∩B＝{x|－1＜x＜4}，所以4是方程x2－2x－m＝0的一个根，即42－2×4－m＝0，所以m＝8.此时，B＝{x|－2＜x＜4}符合题意，故实数m的值为8.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a0}，D＝A∩B.(1)求集合D(用区间表示)；(2)求函数f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内的极值点．解(1)从集合B中的一元二次不等式的解法入手，抓住其判别式的正负对解集的影响来讨论即可；(2)结合第(1)问，再运用数形结合法，讨论f(x)的单调性即得其极值．考向二含有参数的不等式的解法及其应用【例2】(2012·广东卷)设a1，集合A＝{x∈R|x0}，B＝抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)2x2－3(1＋a)x＋6a＝0的判别式Δ＝9(1＋a)2－48a＝9(a－3)·a－13，而a1，A＝{x∈R|x0}，①当Δ0时，得a13或a3，即a13，由2x2－3(1＋a)x＋6a＝0，解得x1＝31＋a－3a－3a－134，x2＝31＋a＋3a－3a－134，抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考若x10，即1＋aa－3a－13，得a0，若x20，即(1＋a)＋a－3a－130，无解，(ⅰ)所以当a0时，x10x2，B＝(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，D＝A∩B＝(x2，＋∞)，(ⅱ)当a＝0时，0＝x1x2，B＝(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，D＝A∩B＝(x2，＋∞)，(ⅲ)当0a13时，0x1x2，B＝(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，D＝A∩B＝(0，x1)∪(x2，＋∞)；抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考②当Δ＝0时，得a＝13，由x2－2x＋1＝0，得x＝1，此时B＝(－∞，1)∪(1，＋∞)，D＝A∩B＝(0,1)∪(1，＋∞)；③当Δ0时，得13a1，B＝R，D＝A∩B＝(0，＋∞)．综上所述：当a≤0时，D＝(x2，＋∞)；当0a13时，D＝0，31＋a－3a－3a－134抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)f′(x)＝6x2－6(1＋a)x＋6a＝6(x－1)(x－a)，a1，令f′(x)＝0得x＝a或x＝1，当xa或x1时，f′(x)0，f(x)单调递增，当ax1时，f′(x)0，f(x)单调递减．①当a≤0时，D＝(x2，＋∞)，因为x21，所以此时f(x)在D＝(x2，＋∞)上无极值点；∪31＋a＋3a－3a－134，＋∞；当a＝13时，D＝(0,1)∪(1，＋∞)；当13a1时，D＝(0，＋∞)．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考由f(0)＝0，f(a)＝2a3－3(1＋a)a2＋6a2＝a2(3－a)0，f(1)＝2－3(1＋a)＋6a＝3a－10，再由f(x)的单调性可得0ax11x2，此时f(x)在D上只存在一个极大值点x＝a；②当0a13时，D＝(0，x1)∪(x2，＋∞)，x1＝31＋a－3a－3a－134，x2＝31＋a＋3a－3a－134，抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考④当13a1时，f(x)在D＝(0，＋∞)上存在一个极大值点x＝a和极小值点x＝1.综上所述，当a≤0时，f(x)在D上无极值点；当0a≤13时，f(x)在D上存在一个极大值点x＝a；当13a1时，f(x)在D上存在一个极大值点x＝a和极小值点x＝1.③当a＝13时，f(x)在D＝(0,1)∪(1，＋∞)上只存在一个极大值点x＝13；抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[方法总结]解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)其次判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)再次当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练2】解关于x的不等式(1－ax)2＜1.解由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0，当a＝0时，x∈∅.当a＞0时，由ax(ax－2)＜0，得a2xx－2a＜0，即0＜x＜2a.当a＜0时，2a＜x＜0.综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；当a＞0时，不等式解集为x0＜x＜2a；当a＜0时，不等式解集为x2a＜x＜0.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范围．考向三一元二次不等式恒成立问题【例3】设函数f(x)＝mx2－mx－1.解(1)要使mx2－mx－10恒成立，若m＝0，显然－10；若m≠0，则m0，Δ＝m2＋4m0⇒－4m0.所以－4m≤0.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)要使f(x)－m＋5在[1,3]上恒成立，即mx－122＋34m－60在x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]．当m0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒7m－60，所以m67，则0m67；抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考当m＝0时，－60恒成立；当m0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)⇒m－60，所以m6，所以m0.综上所述：m的取值范围是mm67.法二因为x2－x＋1＝x－122＋340，又因