1.2.1三角函数的定义

1.2.1三角函数的定义锐角三角函数正弦余弦正切ABC推广任意角三角函数正弦余弦正切余割余切正割类比定义rOP(x,y)rOP(x,y)高中三角函数是在坐标系中定义的220rOPxysinα=，cosα=，tanα=。ryrxxy11sec;c;cot;cossinrrxcsxyy定义中坐标P(x,y)的选取与函数值的关系----正割余割余切此六种函数，统称为三角函数.推广前后三角函数定义的联系区别ryxMPyxO联系：终边落在第一象限与锐角三角函数定义相同.区别：扩充到任意角，扩充后包含原来的定义.例1.已知角α的终边过点P（2，－3），求α的六个三角函数值。解：因为x=2，y=－3，所以sinα=31313yrcosα=21313xrtanα=32yxcotα=23xysecα=132rxcscα=133ry例2.已知角α的终边落在直线上，求sinα，cosα和tanα.3yx:例3、求下列三角函数值角度sinxcosxtanx0642653324323122232322212333333322212322212000001-1-1-1无110无1.角α的终边过点P(－b，4)，且cosα=则b的值是（）35解：r=216bcosα=23516xbrb解得b=3.（A）3（B）－3（C）±3（D）5A随堂练习2.已知角α的终边上一点P(－，y)(其中y≠0)，且sinα=，求cosα和tanα.324y解：sinα=2243yyyry解得y2=5，y=55当y=时，cosα=,tanα=641535当y=－时，cosα=,tanα=64153角α是“任意角”，由三角函数定义可知，由于P(x,y)点的坐标x,y的正负是随角α所在的象限的变化而不同，所以三角函数的符号应由角α所在的象限确定.（二）三角函数在各象限内的符号当角α在第一象限时，由于x0，y0，所以sinα0，cosα0，tanα0，cotα0，secα0，cscα0.当角α在第二象限时，由于x0，y0，所以sinα0，cosα0，tanα0，cotα0，secα0，cscα0.当角α在第三象限时，由于x0，y0，所以sinα0，cosα0，tanα0，cotα0，secα0，cscα0.当角α在第四象限时，由于x0，y0，所以sinα0，cosα0，tanα0，cotα0，secα0，cscα0.__++yxOcosα与secα的符号__++yxOsinα与cscα的符号tanα与cotα的符号__++yxO例4.确定下列三角函数值的符号:（1）cos250º;（2）（3）tan(－672º)；（4）)4sin()311tan(解：（1）250º在第三象限，所以cos250º0.(2)－在第四象限，所以sin(－)0.44(3)－672º在第一象限，所以tan(－672º)0.(4)在第四象限，所以tan()0.1131139(5)cos;411(6)tan();6(7)cos2cos3cos40++例5.设sinθ0且tanθ0，确定θ是第几象限的角。解：因为sinθ0，所以θ可能是第三、四象限的角，又tanθ0，θ可能是第一、三象限的角，综上所述，θ是第三象限的角。例6.若三角形的两内角，满足sincos0，则此三角形必为（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都可能B例4.若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是（）A.sin+cos0B.tansin0C.coscot0D.cotcsc0B例7.已知，则为第几象限角？1212sin解：因为，所以sin20,1212sin则2kπ22kπ+π,kπkπ+2所以是第一或第三象限角.练习1.函数y=++的值域是()(A){－1，1}(B){－1，1，3}(C){－1，3}(D){1，3}|sin|sinxxcos|cos|xx|tan|tanxxC2.已知角θ的终边上有一点P(－4a,3a)(a≠0),则2sinθ+cosθ的值是()253.设A是第三象限角，且|sin|=－sin,则是象限.2A2A2A第四象限角4.sin2·cos3·tan4的值()(A)大于0(B)小于0(C)等于0(D)不确定B5.若sinθ·cosθ＞0,则θ是第象限的角6.sin(－π)+cosπ·tan4π－cosπ=.236137133一、三0解：∵P(－2,y)是角θ终边上一点,r=7.已知P(－2，y)是角θ终边上一点，且sinθ=－,求cosθ的值.5524y25sin54yy解得y=－1.所以cosθ=－.255