那么称为矩阵的最高阶非零子式

§4.3矩阵的秩一、子式定义在矩阵中，任取行与列，位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在中所处的位置次序而得到的阶行列式，称为矩阵的阶子式.nmAAkk),(nkmk2kkAk例如11178424633542A11826D是的一个2阶子式，的2阶子式共有个.DAA182423CC一般地，矩阵的阶子式共有个.nmAkknkmCC二、矩阵的秩定义设在矩阵中有一个不等于零的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于零，那么称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记作或.ArD1rDAr)(AR)(Ar规定：零矩阵的秩等于0.例1求矩阵和的秩.AB,174532321A00000340005213023012B,174532321A在中，容易看出一个2阶子式A,013221D的3阶子式只有一个A,0A因此.2)(AR在中，B由于它是行阶梯形矩阵，容易看出它的4阶子式全为零，而以三个非零行的首非零元为对角元的3阶子式不等于零，024400230312因此.3)(BR00000340005213023012B这里的两个行列式分别是和的最高阶非零子式AB说明根据行列式的展开法则知，在中当所有阶子式全为零时，所有高于阶的子式也全为0，因此把阶非零子式称为最高阶非零子式；A1r1rr矩阵的秩就是中不等于零的子式的最高阶数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；AA当矩阵中有某个阶子式不为0，则As;)(sAR当矩阵中所有阶子式都为0，则At;)(tAR矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数，这也可以作为矩阵的秩定义，但是这样定义矩阵的秩不能清楚表明矩阵的特征.对于阶矩阵，当时，称为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵.nnAR)(AA由于阶矩阵的阶子式只有一个，当时，所以可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵.nn.)(nAR||0AA||A三、矩阵的秩的计算定理若，则BA~).()(BRAR即两个等价矩阵的秩相等.说明根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是矩阵的秩.证明1281216011791201134041461233rr244rr8400084000113404146134rr00000840001134041461所以.3)(AR大多情况下只用初等行变换，不用初等列变换例2设,41461351021632305023A求矩阵的秩，并求的一个最高阶非零子式.AA解析：根据定理，为求的秩，只需将化为行阶梯形矩阵.AA41461351021632305023A41rr42rr132rr143rr1281216011791201134041461再求的一个最高阶非零子式.Ar1615026235230A000400140161r因此,3)(0AR41461351021632305023A00000840001134041461在中,找一个3阶非零子式是比较容易的，另外注意到，的子式都是的子式，所以易求得的一个最高阶非零子式0A0AA502623523.0521162)1(502110652321说明最高阶非零子式一般是不唯一的.上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外观察法也是常用的方法.41461351021632305023A312133003.0例3设,6352132111A已知，求与的值.2)(AR解析：这是一道已知矩阵的秩，讨论其中参数的值的题目.一般有两个途径，一是利用行列式，二是用初等变换.当时，的3阶子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面用初等变换解答此题.2)(ARA6352132111A123rr135rr45804430211145804430211123rr018044302111因为，故2)(AR,01,05即.1,5说明此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论.例4设,6063324208421221A4321b求矩阵及矩阵的秩.A),(bAB解析：此题中矩阵的前4列与的列相同，如果用初等行变换将化为行阶梯形，则就是的行阶梯形，故从中可同时看出及BAB)~,~(~bABA~AB~)(AR).(BR122rr132rr143rr22r23rr243rr53r34rr46063332422084211221),(bAB136005120002400112211000050000012001122100000100000120011221由此可见，,2)(AR.3)(BR注：00000100000120011221rB把此题中的看作方程组的系数矩阵，看作常数项列，则就是增广矩阵，由的行阶梯形矩阵知，这个方程组无解，因为行阶梯形的第3行对应的方程为矛盾方程AbBBbAx.10四、矩阵的秩的性质若为矩阵，则Anm};,min{)(0nmAR);0)(()(),()(kARkARARART若，则BA~).()(BRARQP、若可逆，则);()(ARPAQR),()(),()}(),(max{BRARBARBRAR特别地，当b为列矩阵时，有;1)(),()(ARbARAR即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不超过所有子块的秩之和.证明);()()(BRARBAR,OBAlnnm若则.)()(nBRAR)};(),(min{)(BRARABR例5设为阶矩阵，证明An.)()(nEAREAR证因为,2)()(EAEEA由性质，有)()(AEREAR而),()(EARAER所以.)()(nEAREAR,)2())()((nERAEEAR例6设为矩阵，为矩阵，证明AnmBmn,nm.0AB证根据性质，有,)(mnABR而为阶矩阵，所以ABm.0AB作业：P78-792.(2)(4)(5)