高等数学电子教案12

高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组第十二章无穷级数教学目的：1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。。7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数的一致收敛性概念，了解函数项级数和函数的性质。8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。9、会利用幂级数的性质求和10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。12、理解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件。13、掌握将定义在区间(－π，π)上的函数展开为傅里叶级数的方法。14、会将定义在区间[0，π]上的函数展开为正弦或余弦级数。15、会将定义在区间(－l，l)上的函数展开为傅里叶级数。教学重点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数5、函数展开成傅立叶级数。教学难点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组4、泰勒级数；5、函数展开成傅立叶级数高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组§121常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项无穷级数一般地，给定一个数列u1u2u3un则由这数列构成的表达式u1u2u3un叫做（常数项)无穷级数简称（常数项)级数记为1nnu即3211nnnuuuuu其中第n项un叫做级数的一般项级数的部分和作级数1nnu的前n项和nniinuuuuus3211称为级数1nnu的部分和级数敛散性定义如果级数1nnu的部分和数列}{ns有极限s即ssnnlim则称无穷级数1nnu收敛这时极限s叫做这级数的和并写成3211nnnuuuuus高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组如果}{ns没有极限则称无穷级数1nnu发散余项当级数1nnu收敛时其部分和sn是级数1nnu的和s的近似值它们之间的差值rnssnun1un2叫做级数1nnu的余项例1讨论等比级数(几何级数)20nnnaqaqaqaaq的敛散性其中a0q叫做级数的公比解：如果q1则部分和qaqqaqaqaaqaqaqasnnnn11112当|q|1时因为qasnn1lim所以此时级数nnaq0收敛其和为qa1当|q|1时因为nnslim所以此时级数nnaq0发散如果|q|1则当q1时snna因此级数nnaq0发散当q1时级数nnaq0成为aaaa时|q|1时因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组所以sn的极限不存在从而这时级数nnaq0也发散综上所述如果|q|1则级数nnaq0收敛其和为qa1如果|q|1则级数nnaq0发散仅当|q|1时几何级数nnaq0a0)收敛其和为qa1例2证明级数135（2n-1）是发散的证此级数的前n项部分和为135(21)(1)nsnnn显然nnslim因此所给级数是发散的例3判别无穷级数)1(1431321211nn的收敛性解由于111)1(1nnnnun因此)1(1431321211nnsn111)111()3121()211(nnn从而1)111(limlimnsnnn所以这级数收敛它的和是1高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组提示111)1(1nnnnun二、收敛级数的基本性质性质1如果级数1nnu收敛于和s则它的各项同乘以一个常数k所得的级数1nnku也收敛且其和为ks证明：设1nnu与1nnku的部分和分别为sn与n则)(limlim21nnnnkukukuksskuuuknnnnlim)(lim21这表明级数1nnku收敛且和为ks表明：级数的每一项同乘以一个不为零常数后，它的收敛性不会改变。性质2如果级数1nnu、1nnv分别收敛于和s、则级数)(1nnnvu也收敛且其和为s证明：如果1nnu、1nnv、)(1nnnvu的部分和分别为sn、n、n则)]()()[(limlim2211nnnnnvuvuvu)]()[(lim2121nnnvvvuuussnnn)(lim表明：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。性质3在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性比如级数)1(1431321211nn是收敛的高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组加一项后级数11119895122334(1)nn也是收敛的减一项后级数)1(1541431nn也是收敛的性质4如果级数1nnu收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变注意如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数（11)+（11)+收敛于零但级数1111却是发散的推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散级数收敛的必要条件性质5如果1nnu收敛则它的一般项un趋于零即0lim0nnu证：设级数1nnu的部分和为sn且ssnnlim则0limlim)(limlim110ssssssunnnnnnnnn注意级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件例如调和级数13121111nnn尽管它的一般项1lim0nn，但它是发散的因为假若级数11nn收敛且其和为ssn是它的部分和显然有ssnnlim及ssnn2lim于是0)(lim2nnnss但另一方面高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组212121212121112nnnnnnssnn故0)(lim2nnnss矛盾这矛盾说明级数11nn必定发散§122常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法定义：各项都是正数或零的级数称为正项级数，称为正项级数。正项级数是一类非常重要的级数，关于正项级数有列重要结论：定理1正项级数1nnu收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界证设级数u1u2un是一个正项级数。其部分和为sn显然sn是一个单调增加数列，若部分和数列sn有界则根据单调有界数列必有极限的准则，可知级数un收敛；反之若级数un收敛，则部分和数列sn有极限，根据有极限的数列是有界数列的性质可知{sn}有界定理2(比较审敛法)设1nnu和1nnv都是正项级数且unvn(n12)若级数1nnv收敛则级数1nnu收敛反之若级数1nnu发散则级数1nnv发散证设级数1nnv收敛于和则级数1nnu的部分和snu1u2unv1v2vn(n1,2,)即部分和数列{sn}有界由定理1知级数1nnu收敛反之设级数1nnu发散则级数1nnv必发散高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组因为若级数1nnv收敛由上已证明的结论将有级数1nnu也收敛与假设矛盾推论设1nnu和1nnv都是正项级数如果级数1nnv收敛且存在自然数N使当nN时有unkvn(k0)成立则级数1nnu收敛如果级数1nnv发散且当nN时有unkvn(k0)成立则级数1nnu发散例1讨论p级数1413121111pppppnnn的收敛性其中常数p0解设p1这时nnp11而调和级数11nn发散由比较审敛法知当p1时级数pnn11发散设p1此时有]1)1(1[111111111ppnnpnnppnnpdxxdxnn(n2,3,)对于级数]1)1(1[112ppnnn其部分和111111)1(11])1(11[]3121[]211[ppppppnnnns因为1])1(11[limlim1pnnnns所以级数]1)1(1[112ppnnn收敛从而根据比较审敛法的推论1可知级数pnn11当高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组p1时收敛综上所述p级数pnn11当p1时收敛当p1时发散提示级数]1)1(1[112ppnnn的部分和为111111)1(11])1(11[]3121[]211[ppppppnnnns因为1])1(11[limlim1pnnnns所以级数]1)1(1[112ppnnn收敛p级数的收敛性p级数pnn11当p1时收敛当p1时发散例2证明级数1)1(1nnn是发散的证因为11)1(1)1(12nnnn而级数113121111nnn是发散的根据比较审敛法可知所给级数也是发散的定理3(比较审敛法的极限形式)设1nnu和1nnv都是正项级数(1)如果lvunnnlim(0l)且级数1nnv收敛则级数1nnu收敛高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组(2)如果nnnnnnvulvulim0lim或且级数1nnv发散则级数1nnu发散证明由极限的定义可知对l21存在自然数N当nN时有不等式llvullnn2121即nnnlvulv2321再根据比较审敛法的推论1即得所要证的结论例3判别级数11tannn的收敛性解因为1tanlim11nnn而级数11nn发散根据比较审敛法的极限形式级数11tannn发散例4判别级数11(21)(21)nnn的收敛性解因为211(21)(21)lim14nnnn