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当前位置:首页 > 建筑/环境 > 工程监理 > 高等数学科学出版社D5_不定积分习题课
习题课一、求不定积分的基本方法二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法第五章一、求不定积分的基本方法1.直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法第一类换元法第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:))(tx3.分部积分法vuxvud使用原则:1)由v易求出v;2)比xvud好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为u,排后者取为.vxvud例1.求解:原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(32例2.求解:21]5)1ln([2xx原式]5)1ln([d2xx21xxxxxd)1(212221dxx325)1ln(2xxC23分析:]5)1ln([d2xx例3.求解:原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tanCxx2tan分部积分例4.设解:令,tyx求积分即txy,123ttx,12tty而ttttxd)1()3(d22221原式ttttd)1()3(2222123tt132ttCyx1)(ln221例5.求解:xearctan原式xedxxeearctanxexeexxd12xxeearctanxeeexxxd1)1(222xxeearctanxCex)1(ln221例16.解:)()(xfxf2()()()1d()()fxfxfxxfxfxxxfxfxfxfd)()()()(22Cxfxf2)()(21))()(d(xfxf)()(xfxf计算原式=例6.求解:原式xe2原式)2(321xx)13(241xx681Cxxxex)7264(232816161C例7.设证:证明递推公式:)2(12tansec1122nInnxxnInnnxInn2secxn2secxxxnntansecsec)2(3xxntansec2xxxnnd)1(secsec)2(22xxntansec2nIn)2(2)2(nInxxdsec2例8.求解:设1)(xxF1x,1x1x,1x则1,1221xCxx1,2221xCxx因连续,得221121CC记作C得1,21221xCxx1,21221xCxx,)1(221Cx,)1(221Cx利用例9.设解:为的原函数,且求由题设,)()(xfxF则故即,因此故又二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.例如,,)10(dsin122kxxk42,xx含有理式的积分技巧2224444442611ddd,111111(4)d,(5)d,(6)d111xxxxxxxxxxxxxxxxx求下列不定积分,(1),(2),(3)例10.(4)解:原式xxd14)1(2x)1(2x211d4xx2arctan2211xx21221ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx2)(2121xx)d(1xx按常规方法解:1d4xx第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!例11.求.1d632xxxeeex解:令,6xet则,ln6txtxtdd6原式ttttt)1(d623tttt)1)(1(d62tdtln61ln3t)1ln(232tCtarctan3例12.求解:令xxsincos3xBAxBAsin)(cos)(比较同类项系数3BA1BA,故2,1BA∴原式xxxxxsincos)sind(cos2dCxxxsincosln说明:此技巧适用于形为xxdxcxbxadsincossincos的积分.)sin(cos)sin(cosxxBxxAxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcBxdxcA例13.解:xxbxaxIdsincossin1求因为.dsincoscos2xxbxaxI及xxbxaxbxadsincossincosxxbxaxaxbdsincossincos1xC例14.求不定积分解:原式)1)(2(12uuuA21uB1uC例15.)()sin()sin(dkbabxaxxI求xbxaxd)sin()sin()]()sin[(bxax)sin(1baxbxaxbad)sin()sin()sin(1)sin(ax)cos(bx)cos(ax)sin(bx)sin(1baxbxbxd)sin()cos(xaxaxd)sin()cos(Caxbxba)sin(ln)sin(ln)sin(1Caxbxba)sin()sin(ln)sin(1解:I=例16.求解:nbxaxbxaxxI)()(d(n为自然数)令则2dttbanCtabn1例17.解:)()(xfxf2()()()1d()()fxfxfxxfxfxxxfxfxfxfd)()()()(22Cxfxf2)()(21))()(d(xfxf)()(xfxf计算原式=练习作业•第五章总练习题1的奇数小题
本文标题:高等数学科学出版社D5_不定积分习题课
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