线段的垂直平分线与角平分线复习

1.线段垂直平分线定理线段垂直平分线性质定理的作用:ACBPMN几何语言：1.线段垂直平分线定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.线段垂直平分线定理的作用:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.ACBPMN几何语言：如图,∵MN⊥AB,垂足为C,AC=BC,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).2.线段垂直平分线逆定理：ACBPMN几何语言定理的作用:从这个结论出发,你还能联想到什么?2.线段垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.ACBPMN几何语言如图,∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).定理的作用:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结论出发,你还能联想到什么?已知:线段AB,如图.求作:线段AB的垂直平分线.作法:3.用尺规作线段的垂直平分线.AB已知:线段AB,如图.求作:线段AB的垂直平分线.作法:3.用尺规作线段的垂直平分线.1.分别以点A和B为圆心,以大于AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D.ABCD2.作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线.请你说明CD为什么是AB的垂直平分线4.三角形三边垂直平分线定理:几何语言ABCPabc4.三角形三边垂直平分线定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.几何语言如图,在△ABC中,∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).提示:这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.ABCPabc5.三角形三边垂直平分线定理的证明：ABCP5.三角形三边垂直平分线定理的证明：ABCP如图,在△ABC中,设AB,BC的垂直平分线相交于点P,连接AP,BP,CP.∵点P在线段AB的垂直平分线上,∴PA=PB(或AB的中点).同理,PB=PC.∴PA=PC.∴点P在线段AB的垂直平分线上.∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.6角平分线的性质定理应用提示:几何语言OCB1A2PDE6角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.应用提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.几何语言如图,∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).OCB1A2PDE7.逆定理几何语言应用提示:OBAC12PDE7.逆定理在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.几何语言如图,∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).应用提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发,你还能联想到什么?OBAC12PDE已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.作法:8.用尺规作角的平分线.ABO已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.作法:8.用尺规作角的平分线.1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC.说明OC为什么是∠AOB的平分线.提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.ABOC则射线OC就是∠AOB的平分线.DE9.三角形的三条角平分线定理:几何语言ABCPMNDEFH9.三角形的三条角平分线定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.几何语言如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一.ABCPMNDEFH10.三角形三个角平分线定理的证明ABCPMNDEF10.三角形三个角平分线定理的证明如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.ABCPMNDEF∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).