物理学中的群论基础第一章

物理学中的群论及其应用考察所有整数集合I={,-3,-2,-1,0,1,2,3}，考察下列四个性质：(a)集合I的任意两个元素之和仍是一整数，从而属于此集合I.(b)此集合包含一个零元素0，具有这样的性质，对任意元素mI，m+0=0+m=m.(c)对于I的任意元素m，存在一个也属于I的唯一n，使得m+n=n+m=0；显然n=-m.(d)若m，n和p是I的任意三个元素，m+(n+p)=(m+n)+p；这表示加法满足结合律。§1.1什么是群？考察另一集合：所有n阶幺正矩阵的集合U(n)，n是一个稳定的有限正整数。此集合有四个性质：(a)若U和V时任意两个n阶幺正矩阵，乘积UV仍是一个n阶幺正矩阵，从而也属于集合U(n).(b)包含单位矩阵I，具有性质：UU(n)，UI=IU=U.(c)若U是U(n)的一元素，则存在唯一的V，它也在U(n)中，UV=VU=I.(d)若U，V和W是此集合的三个元素，U(VW)=(UV)W.上述两集合的性质定义了一个群，这两个集合就是群的例子。群是一些不同元素的集合，G{E，A，B，C，D，}，这些元素被赋予以合成法则(加法、乘法、矩阵乘法等)，满足性质：(a)封闭性(b)存在恒等元.GAAEAAEGEABG，A，BG.(c)存在逆元.EABBAGBGA(d)结合律GCBACBACBA，，)()(群中元素的个数叫做群的阶。有限群包含有限个元素；包含无限多元素的叫做无限群。以后，符号“”将省去。AB将写作AB。用“合成”替代“乘法”一般来说，ABBA，若群的所有元素都相互对易，则称此群为Abel群(交换群)1.1.1变换群Oxy——集合——线性空间线性运算——内积空间内积——欧氏空间距离=?{(x,y)|x,yR}=R2人们对平面的认识欧几里德,笛卡儿,费马,…一个系统的所有对称变换的集合是一个群。×√√a1a2•定义：设由点变换构成的集合G，满足下列两个条件，称G为变换群：–G中任意两个变换的乘积仍是G中的变换，即具有封闭性–G中的每个变换都有逆变换，而且是G中的一个变换。•平面上所有平移的集合•平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合•平面上所有轴反射的集合1.1.2正方形的对称性群（1）平面上正方形ABCD的对称变换群S(K)={，，，，，，，}123456781：ABCD2ABCD2：2ABCD2ABCD---2：3ABCD2ABCD：4ABCD2ABCD3--—2：5ABCDABCD：6ABCDABCD：7ABCDABCD：8ABCDABCD（2）S(K)中的运算举例2121ABCD2ABCD22ABCD——2257ABCDABCDABCD25（3）S(K)中的幺元11：ABCD2ABCD2（4）S(K)中的逆元124ABCD2ABCD——2ABCD242Oxyfi()=Qi恒等f1f2f3f4f5f6f7f810010110100101100110011010011001155ABCDABCDABCD551.2乘法表(Cayley表)f1f2f3f4f5f6f7f8f1f2f3f4f5f6f7f8f1f2f3f4f5f6f7f8f2f3f4f5f6f7f8f3f4f1f4f1f1f2f2f3f1f1f1f1f8f7f5f61.2.1重排定理从乘法表看出，群的每一个元素在每一列中出现一次，且只出现一次。这就是所谓重排定理。这个定理的一个重要推论：若f是群元素的任意函数，则.)()(GAGAABfAf这里B是有限群G的一个元素，求和遍及所有群元素。1.2.2有限群的生成元考虑一些元素的最小集合，这些元素的幂和乘积可以生成群的所有元素，此集合的元素成为群的生成元。例：由元素A生成一个群，只要求An=E，n是满足此关系式的最小正整数。由于A是群中的一个元素，所有它的整数幂必定也在这个群中。故可以生成群的新元素，A2，A3，…，直到An=E，更高次幂不能给出新元素，因为An+k=Ak.所求得群，故所求得群阶为n.例：由两元素A和B生成一个群，只要求A2=B3=(AB)2=E.由于A2=E和B3=E，此群必包含元素E，A，B，B2.它一定也包含所有A，B和B2的乘积.因此得到两个新元素AB和BA.A和B不对易，否则由(AB)2=E将得到E=ABAB=A2B2=B2.AB和BA是不同的元素.由此生成6个元素E,A,B,B2,AB,BA.可以证明，这个集合是一个群，即它对乘法是封闭的。1.3共轭元素和类A，B和C是群的元素，当元素B和C之间存在关系A-1BA=C，它们被称为共轭元素，这种运算叫做B通过A的相似变换.显然ACA-1=B例如，前面群元素之间的这种关系：f4-1f5f4=f6，f5和f6互为共轭.若B与C共轭，B又与D共轭，则C与D共轭，B，C和D互为共轭.这样，可以把一个群分成一些集合，使得每一集合中的所有元素相互共轭，不同集合的两元素互不共轭。这种群叫做共轭类。1.3.1类的乘法令Ci=(A1,A2,...,Am)和Cj=(B1,B2,…,Bn)为群中包含m和n个元素的两类，它们的积就是Ci中任意元素和Cj中任意元素所有积所组成的集合。CiCj=(A1B1,A2B2,…,AlAk,…,AmBn)1.4子群集合H的所有元素都在群G中，且H本身也是在同样合成法则下的一个群，则H叫做群G的一个子群。每个群G都有两个平凡子群——单位元和G自身。若H≠G，即G比H有更多的元素，则子群H叫做G的真子群。1.4.1循环群若G是有限群，则必然存在一个有限正整数n使得An=E.满足上式的最小非零正整数叫做元素A的阶。前面讨论过的群(A,A2,A3,…,An=E)有这样的性质，其中每一元素都是某一特定元素的乘幂。这样的群叫做循环群。由单一元素生成的群就是一个循环群。循环群是Abel群，但其逆未必。1.4.2陪集(coset)考察g阶群G的一个h阶子群H=(H1=E,H2,…,Hh)。设X为G中任意元素，构造所有像XE,XH2等等的乘积并组成集合XH=(XE,XH2,XH3,…,XHh).现在有两种情况：X可能或者不在子群H中。若X是H的元素，由群的定义，集合XH必与群H恒等。集合XH中，仅仅是把H中的元素重新排列。可以记作XH=H,XH.假设对于某一值i(1≤i≤h)，XHi属于H，H是个群，Hi-1也属于此群，从而(XHi)Hi-1=X在H中，这与假设X不是H的元素相矛盾，也就证明了H和XH没有公共元素，H和XH为不相交集，说H和XH的交是零集(nullset)或空集(emptyset):H∩(XH)=.若X不属于H，则可证XH中的元素都不属于H.下面用反证法。定义HG,XG,H的左陪集:XHH的右陪集:HX1.4.3Lagrange定理若h阶群H为g阶群G的一个子群，则|G|＝|H|·[G:H]。证明令H=(E,H2,H3,…,Hh,X,XH2,…,XHh)是G的一个子群.相对于一个属于G而不属于H的元素X组成的作陪集XH.前面已证明，所有的元素XHi(1≤i≤h)都属于G而不属于H，于是得到G的h个新元素.这样就生成G的下列2h个元素:H∪XH=(E,H2,H3,…,Hh,X,XH2,…,XHh).如果这不是全部G，就在G的剩余部分中取一元素Y(Y属于G但不属于H和XH)，同样组成左陪集YH.同理，YH的所有元素必属于G而不属于H，YH和H不相交.如果YH中的某元素YHi与XH中的某元素XHi(1≤i,j≤h)相同，则YHi=XHj,或Y=XHjHi-1XHk.其中1≤k≤h,这表明Y属于XH，但与假设矛盾。于是又得到G的h个新元素，总计得到G的3h个元素:H∪XH∪YH=(E,H2,…,Hh,X,XH2,…,XHh,Y,YH2,…,YHh).如果这些还不是全部G，我们又可以从G的剩余部分再取一个元素继续上面的步骤。每次都生成h个属于G的新元素。因此G的阶必定是h的整数倍。整数gh叫做G中子群H的指数。如果有限群G的一个元素A的阶为n，已知集合(A,A2,…,An=E)是G的一个子群，故有限群的任意元素的阶必定是此群之积的整数因子。1.4.4正规子群和商群(quotientgroup)若相对于G中所有元素X，子群H的左陪集和右陪集相同，则H叫做G的正规子群或不变子群.H是正规子群的条件可写成：XG,XH=HX,或X-1HX=H.这个条件也可改述为要求XH中的每一元素等于HX的某一元素，XHi=HjX.从而X-1HjX=Hj.上式就是Hi和Hj只见的共轭关系，表明如果Hi属于G中的正规子群H，则与Hi共轭的所有元素也属于H.这个结论常被说成：正规子群由较大群的完全类组成。其逆也成立。定理：若H是群G的正规子群，则在G/H中定义运算为：XHYH＝(X*Y)H，则G/H在运算下为群，称G/H，为G对H的商群。记为K=GH证明(1)对任意的aH、bH、cH∈G/H，有(aHbH)cH＝(a*b)HcH＝((a*b)*c)H＝(a*(b*c))H＝aH(b*c)H＝aH(bHcH)aHeH＝(a*e)H＝aH＝(e*a)H＝eHaHaHa－1H＝(a*a－1)H＝eH＝(a－1*a)H＝a－1HaH所以满足结合律，且eH为关于运算的幺元，每个元素aH都有逆元a－1H。故G/H，为群。若g和h分别为G和H的阶，K的阶等于G中H的指数g/h.1.5群的直积令H=(H1E,H2,H3,…,Hh)是h阶群，K=(K1E,K2,K3,…,Kk)是k阶群，设(i)H和K除E外无其他公共元素，(ii)H中的每一元素都与K中每一元素对易.定义H和K两群之积为阶等于g=hk的群G，其元素是H的每一元素和K的每一元素的积.群的直积为G=HK=(E,EK2,EK3,…,EKk,H2E,H2K2,…,H2Kk,…,HhKk).显然，H和K都是G的正规子群.1.6同构和同态乘法表刻画了群的全部特征，也包含了关于群的解析结构的全部知识。具有相似乘法表的所有群都有相同的结构—相互同构.定义同构对应一一对应保持运算多对一的映射更常遇到。如果群G1的每一元素A对应于另一群G2的唯一元素(A)使得(AB)=(A)(B)，就说存在从G1到G2的同态.(AB)=(A)(B),A,BG定义:同态映射:GH为满(单)射——满(单)同态GHKereIm1.7置换群定义设S＝{1，2，…，n}，从集合S到S的一个双射称为S的一个n阶置换。一般将n阶置换记为，并称)()2(2)1(1nn定理设S＝{1，2，…，n}，则|Sn|＝n!.证明因为每一种n阶置换都是n个元素的一种全排列，所以n个元素的集合中不同的n阶置换的总数等于n个元素的全排列的种类数n!.故|Sn|＝n!.例设S＝{1，2，3，4，5}，则都是5阶置换。.52134543212431554321称为恒等置换，记为e.通常将S上的所有n阶置换的集合记为Sn.nn)(2)2(1)1(nn2121为的反置换,记为-1.n阶置换1.8给定阶的不同群同构的群具有相同的解析结构.许多同构的群可代表完全不同的物理状况.数学上，只要讨论其中之一就可以.同构群的元素可以是矩阵、置换或坐标变换.只研究同构群中的一个群就足够了，这个群的元素不需要有任何实际“意义”，可从抽象角度来处理.我们的整个理论一群的四个基本公理为基础,与群元素的特定含义无关.这部分理论叫做抽象群理论.根据具体的物理状况的需要,给群元素以任意的解释,并得出相应结果.给定阶数n的不同的(非同构)群.当n较小时,很容易做到.(i)n=1.只有一种结构：仅有一个单位元的群.(ii)n=2