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1相似三角形——“一线三等角型”一、知识梳理:一线三等角:两个等角的一边在同一直线上,另一边在该直线的同侧。若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上,角的两边(或两边所在直线)分别与两等角的非共线边(或该边所在直线)相交,此时通过证明,一般都可以得到一组相似三角形,该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形.(图1)(图2)(1)如图1,已知三角形ABC中,AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有;(2)如图2,已知三角形ABC中,AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有.二、【例题解析】【例1】如图,等边△ABC中,边长为4,D是BC上动点,∠EDF=60°,(1)求证:△BDE∽△CFD;(2)当BD=1,FC=52时,求BE.【变式1】在边长为4的等边ABC中,D是BC的中点,点E、F分别在AB、AC上,且保持ABCEDF,连接EF.(1)已知BE=1,DF=2,求DE的值;(2)求证:∠BED=∠DEF.2【变式2】在边长为4的等边ABC中,若BD=1时,当△DEF与△AEF相似,求BE的值.【变式3】如图,已知边长为3的等边ABC,点F在边BC上,CF=1,点E是射线BA上一动点,以线段EF为边向右侧作等边EFG,直线EG,FG交直线AC于点M,N,(1)写出图中与BEF相似的三角形;(2)证明其中一对三角形相似;(3)设BE=x,MN=y,,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.【例2】在ABC中,OBCACC,3,4,90o是AB上的一点,且52ABAO,点P是AC上的一个动点,OPPQ交线段BC于点Q(不与点B,C重合),已知AP=2,求CQ.【变式1】如图,在△ABC中,8ACAB,10BC,D是BC边上的一个动点,点E在AC边上,且CADE.(1)求证:△ABD∽△DCE;(2)如果xBD,yAE,求y与x的函数解析式,并写出自变量x的定义域;(3)当点D是BC的中点时,试说明△ADE是什么三角形,并说明理由.QCOABP3【变式2】在直角三角形ABC中,DBCABC,,90o是AB边上的一点,E是在AC边上的一个动点(与A,C不重合),DFDEDF,与射线BC相交于点F.(1)如图1,当点D是边AB的中点时,求证:DFDE;(2)如图2,当mDBAD,求DFDE的值.图(2)图(1)FCFCABBADEDE【例3】已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A.①求证;△ABP∽△DPC;②求AP的长.【变式1】如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;②当CE=1时,写出AP的长.CBADCBAD【变式2】在梯形ABCD中,AD∥BC,6ABCDBC,3AD.点M为边BC的中点,以M为顶点作EMFB,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,联结EF.(1)求证:△MEF∽△BEM;(2)若△BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长;(3)若EFCD,求BE的长.4【作业】1、如图,在ABC中,90C,6AC,43BCAC,D是BC边的中点,E为AB边上的一个动点,作90DEF,EF交射线BC于点F.设BEx,BED的面积为y.(1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似,求BED的面积.2、如图,已知在△ABC中,AB=AC=6,BC=5,D是AB上一点,BD=2,E是BC上一动点,连结DE,并作DEFB,射线EF交线段AC于F.(1)求证:△DBE∽△ECF;(2)当F是线段AC中点时,求线段BE的长;(3)联结DF,如果△DEF与△DBE相似,求FC的长.3、已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且BC=6,AB=DC=4,点E是AB的中点.(1)如图,P为BC上的一点,且BP=2.求证:△BEP∽△CPD;(2)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重合),且满足∠EPF=∠C,PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么:①当点F在线段CD的延长线上时,设BP=x,DF=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;②当BEPDMFSS49时,求BP的长.
本文标题:初三相似三角形之一线三等角专题
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