第2章优化设计(1)

第2章优化设计(1)ⅡOptimalDesign第2章优化设计优化设计是现代设计方法的重要内容之一。它以数学规划论为理论基础，以电子计算机为工具，在充分考虑多种设计约束的前提下，寻求满足某项预定目标的最佳设计方案的一种设计方法。本章主要介绍了如下方面内容：内容简介■优化设计的基本概念及数学模型的建立■常用的一维优化方法■多维无约束优化方法■约束优化方法■多目标优化方法■机械优化设计的一般步骤及设计应用实例2.1概述2.1.1优化设计基本概念优化设计（OptimalDesign）是20世纪60年代发展起来的一种现代设计方法。它是将最优化原理和计算机技术应用于设计领域，为工程设计提供一种重要的科学设计方法。利用这一设计方法，设计者就可从众多的设计方案中寻找出最佳设计方案，从而大大提高设计效率和质量，因此优化设计是现代设计理论和方法的一个重要领域，它已广泛应用于各个工业设计领域和各种产品设计中。所谓优化设计，就是在规定的设计限制条件下，运用最优化原理和方法将实际工程设计问题转化为最优化问题，然后以计算机为工具进行寻优计算，在全部可行设计方案中，寻求满足预定设计目标的最佳设计方案。进行最优化设计时：首先必须将实际问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的数学模型；然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上进行寻优运算求解，得到一组最佳的设计参数。这组设计参数就是设计的最优解。与传统设计方法不同，优化设计过程一般分为如下四步：●设计课题分析●建立数学模型●选择优化设计方法●上机电算求解获得最优解（２）建立数学模型：将工程优化设计问题用数学方程式的形式予以全面地、准确地描述，即建立优化数学模型。（１）设计课题分析：通过对设计课题的分析，提出设计目标，它可以是单项设计指标，也可以是多项设计指标的组合。从技术经济的观点出发，对机械设计而言，机器的运动学和动力学性能、体积、重量、效率、成本、可靠性等都可以作为设计追求的目标。然后分析设计应满足的要求，主要的有：某些参数的取值范围；某种设计性能或指标按设计规范推导出的技术性能；还有工艺条件对设计参数的限制等。（３）选择优化设计方法：根据所建立的数学方程式的性质、设计精度的要求等选用合适的优化设计方法，并做出相应的程序设计。（４）上机电算求解：将所编程序及有关数据上机运算，自动得出最优值。然后对计算结果做出分析和判断，则得出最优设计方案。上述优化设计过程的四步其核心是进行如下两项工作：一是分析设计任务，将实际问题转化为一个最优化问题，即建立优化问题的数学模型；二是选用适用的优化方法在计算机上求解数学模型，寻求最优设计方案。例2-1如图2-1所示，有一圆形等截面的销轴，一端固定，一端作用着集中载荷F=1000N和转矩T=100N·m。由于结构需要，轴的长度l不得小于8cm，已知销轴材料的许用弯曲应力［σW］＝120MPa，许用扭转切应力[τ]=80MPa，允许挠度［f］=0.01cm，密度ρ=7.8t/m3，弹性模量E=2×10580MPa。下面通过三个简单的优化设计实例，说明优化数学模型的一般形式及其有关概念。图2-1圆形等截面的销轴2.1.2优化设计的数学模型现要求在满足使用要求的条件下，试设计一个用料最省（销轴质量最轻）的方案。解：根据上述问题，该销轴的力学模型是一个悬臂梁。设销轴直径为d，长度为，体积为V，则该问题的物理表达式如下：l21min4Vdlll可见销轴用料取决于其直径d和长度。这是一个合理选择d和而使体积V最小的优化设计问题。(2)满足的条件：①强度条件：wdFl3max1.032.0dTfdEFlEJFlf4333643弯曲强度扭转强度式②刚度条件：挠度表达式(1)销轴用料最省（即体积最小）：③结构尺寸边界条件：min8cmll12,xdxl12[][]TTXdlxx222121211min()0.78544fXVdlxxxx将题意的有关已知数值代入，按优化数学模型的规范形式，可归纳为如下数学模型：设：设计变量：目标函数的极小化：33121()8.338.330()gXldxx弯曲强度条件3321343432142()6.256.250()()0.340.340()()880()gXdxgXldxxgXlx扭转强度条件刚度条件长度的边界条件约束条件：综上所述，这是一个具有4个约束条件的二维非线性的约束优化问题。例2-2现用薄钢板制造一体积为5，长度不小于4m的无上盖的立方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、宽和高的尺寸。3m解：分析可知，钢板的耗费量与货箱的表面积成正比。设货箱的长、宽、高分别为，货箱的表面积为S，则该问题的物理表达式为：123,,xxx1213232()minSxxxxxx2x3x(1)货箱的钢板耗费量（即货箱的表面积用料）最少：可见货箱的表面积取决于货箱的长度、宽度和高度。1x1234;0;0xxx(2)满足的条件：按优化数学模型的规范形式，可归纳为如下数学模型：123[]TXxxx121323min()2()fXSxxxxxx11()40gXx设计变量：目标函数的极小化：约束条件：2233123()0()0()50gXxgXxhXxxx由等式约束条件可知，三个设计变量中只有两个是独立变量，即。所以，该问题的优化数学模型应写为：3125xxx12[]TXxx设计变量：121323122111min()2()10()fXxxxxxxxxxx目标函数的极小化：11()40gXx22123()0()50gXxhXxxx约束条件：这样，使该优化问题的数学模型更为准确、精炼。例2-3某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需使用材料9kg、3个工时、4kw电，可获利润60元。生产乙种产品每件需用材料4kg、10个工时、5kw电，可获利120元。若每天能供应材料360kg，有300个工时，能供200kw电。试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。12,xx12(,)fxx1212(,)60120maxfxxxx112()94360gXxx212()310300gXxx312()45200gXxx每天实际消耗的材料、工时和电力可分别用以下约束函数表示：解：这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。设每天生产的甲、乙两种产品分别为件，每天获得的利润可用函数表示，即12[]TXxx1212min()(,)60120fXfxxxx于是上述生产计划问题的优化数学模型应写为：设计变量：目标函数的极小化：112()94360gXxx212()310300gXxx312()45200gXxx41()0gXx约束条件：（工时约束）（电力约束）（材料约束）52()0gXx由于目标函数和所有约束函数均为设计变量的线性函数，故此优化问题属线性约束优化问题。12[,,,]TnXxxx12()(,,,)nfXfxxx()0(1,2,,)ugXum()0(1,2,,)vhXvpn()0ugX()0vhX从以上三个实例可以看出，优化设计的数学模型需要用设计变量、目标函数和约束条件等基本概念才能予以完整的描述，可以写成以下统一形式：求设计变量(2-1)使极小化函数(2-2)满足约束条件：其中，称为不等式约束条件，称为等式约束条件。若用向量－－表示设计变量，－－表示向量X属于n维实欧氏空间；用min、max－－表示极小化和极大化，s.t.（subjectedto的英文缩写）－－表示“满足于”，m、p－－分别表示不等式约束和等式约束的个数。12[,,,]TnXxxxnXRmin()..()0(1,2,,)()0(1,2,,)nuvfXXRstgXumhXvpn(2-3)min()nfXXR上式就是优化数学模型的一般表达式。这一优化数学模型，称为约束优化设计问题。(2-4)这一优化问题不受任何约束，称为无约束优化设计问题。式（2-4）即为无约束优化问题的数学模型表达式。若上式所列数学模型内m=p=0，则成为上述优化数学模型还可以写成如下向量形式：min()fXmax[()]fX()fX()0ugX()0vhX当涉及问题要求极大化f(X)目标函数时，只要将式中目标函数改写为－f(X)即可。因为和具有相同的解。同样，当不等式约束为：“≥０”时，只要将不等式两端同乘以“－1”，即可得到“≤”的一般形式。一个完整的规格化的优化数学模型应包含有三部分内容，即设计变量X；目标函数；约束条件和。它们又称为：优化数学模型的三要素。建立出的优化数学模型，在计算机上求得的解称为优化问题的最优解，它包括：最优方案：最优目标函数值：****12[,,,]TnXxxx*()fX*()fX即优化问题的最优解由最优设计方案X*（或称最优点）和最优目标函数值两部分组成。最优目标函数值是最优点X*带入目标函数所求得的最优函数值，它是评价设计方案优劣程度的一个标量值。()fX*()fX下面就优化数学模型三要素的有关问题说明如下:在优化设计过程中需要调整和优选的参数，称为设计变量。可表示为：12[,...,]TnnXxxxXR由于实际工程设计对象的不同，则选取的设计变量也就不同。它可以是几何参数：如零件外形尺寸、截面尺寸、机构的运动尺寸等；也可以是某些物理量：如零部件的重量、体积、力与力矩、惯性矩等；还可以是代表机器工作性能的导出量：如应力、变形等。总之，设计变量必须对该项设计性能指标优劣有影响的参数。设计变量是一组相互独立的基本参数。一般用向量X来表示。设计变量的每一个分量都是相互独立的。以n个设计变量为坐标轴所构成的实数空间称为设计空间，或称n维实欧式空间，用Rn表示。1.设计变量当n=2时，X=[x1,x2]T是二维设计向量；当n=3时，X=[x1,x2,x3]T为三维设计向量，设计变量x1,x2,x3组成一个三维空间；当n3时，设计空间是一个想象的超越空间，称n维实属空间。其中二维和三维设计空间如图2-2所示。图2-2设计空间(a)(b)在工程设计中，当有些设计变量的取值要求是离散型量，则称离散设计变量，如齿轮的齿数、模数，钢管的直径、钢板的厚度等。对于离散设计变量，在优化设计过程中常是先把它视为连续量，再求得连续量的优化结果后再进行圆整或标准化，以求得一个实用的最优设计方案。设计变量的个数，称为维数（自由度），它决定了优化问题的大小范围，当：n＝2～10为小型优化问题；n＝10～50为中型优化问题；n50为大型优化问题。设计变量可分为连续变量和离散变量。2.目标函数目标函数是用来评价设计方案优劣的标准，又称评价函数。它是设计变量的函数，常记为12()(,,,)nfxfxxx确定目标函数，是优化设计中最重要的决策之一。因为这不仅直接影响优化方案的质量，而且还影响到优化过程。目标函数可以根据工程问题的要求从不同角度来建立，例如：机械零件设计中的重量、体积、效率、可靠性、几何尺寸、承载能力；机械设计中的运动误差、功率、应力、动力特性；产品设计中的成本、寿命等。优化设计就是要寻求一个最优设计方案，即最优点X*，从而使目标函数达到最优值。在优化设计中，一般取最优值为目标函数的最小值。*()fX一个优化问题，可以用一个目标函数来衡量，称之为单目标优化问题；也可以用多个目标函数来衡量，称之为多目标优化问题。目标函数可以通过等值线（面）在设计空间中表现出来。现以二维优化问题为例，来说明目标函数的等值线(面)的几何意义。图2-3二维目标函数的等值线由于每一条曲线上的各点都具有相等的目标函数值，所以这些曲线称为目标函数的等值线。如图2-3所示，当目标函数f(x)等于某一值ci(i=1,2,…)时，就可得到一条等值线，它