2 单相正弦交流电路__第一讲

2单相正弦交流电路上一章的电信号是直流信号，其大小和方向随时间是不变化的。但由于发电厂生产的电压信号主要是以正弦规律变化的（称为正弦交流电），在需要直流电时，通常也是由正弦交流电经过变换得到的；而且因为它在生产、传输及应用有其特有的优越性，故在实际生产中得到广泛的应用，它是学习其它后续技术如电机、电器及电子技术的理论基础。由于本章的电信号都是正弦交流电，其大小与方向随时间按正弦规律变化，因此学习本章内容时，要建立起交流的概念，如有效值、相位等概念。本章重点是正弦交流电路的分析与计算，其方法为相量法。2.1正弦交流电的三要素正弦交流电也称为正弦量，其数值是随时间按正弦规律变化的，它的数学表示方法有三角函数形式及波形图。如正弦电压函数式如下V)sin(tUum其波形如图2-1－1所示0utTUm图2-1-1正弦波形由于正弦交流电的大小和方向都随时间变化而变化，而利用电路定律分析电路时，必须知道电压或电流的方向。因此规定：R图2-1-2正弦电压极性的确定iu若正弦电压u作用于图2-1-2电路上，首先设定电压的正方向，并用实箭头表示，而用“+”、“-”与“”、“”表示正、负半周的实际极性。其关系为：当u正半周时，即u0，正方向与实际极性相同，如图2-1-2中“+”、“-”表示正半周的实际极性；当u负半周时，u0，正方向与实际极性相反，如图2-1-2中“”、“”表示负半周的实际极性。2.1.1周期、频率与角频率：表示正弦量变化的快慢1.周期T：正弦量变化一次所需的时间，即为正弦量的周期单位为秒（S），如图2-1-1所示;0utTUm图2-1-1正弦波形2.频率f：正弦量每秒内变化的次数，称为正弦量的频率，其单位为1/秒，即赫兹（Hz）。一个正弦量可用三个参数来描述它的特征，即周期（频率）、幅值（有效值）及相位（初相位），这三个量称为正弦量的三要素，下面分别介绍这三个量。3.角频率ω：正弦量每秒内变化的角弧度，称为正弦量的角频率，其单位为弧度/秒（rad/s）。ffT221注意：在我国生产的正弦交流电的频率为50Hz，称为工频。不同的国家，工频电压的频率也不相同。上面三个量的关系为例2-1-1已知正弦电流为，试求其周期、频率及角频率。A)303140sin(210ti解：由电流的表达式可知，ω＝3140rad/s，则s002.0314028.6ωπ2THz500002.01T1f1.瞬时值：即是正弦量在每一时刻的值，用小写字母表示，如电压u、电流i与电动势e。2.幅值（最大值）：正弦量的最大瞬时值，称为它幅值，用大写字母与小写字母做下标来表示，如电压Um、电流Im与电动势的幅值Em。2.1.2幅值与有效值：表示正弦量的大小3.有效值正弦量的瞬时值和幅值都是表示正弦量的大小。但在实际测量正弦量的大小时，测量仪表测量的不是瞬时值，也不是幅值，而是有效值。那么有效值是怎么定义的呢？T02dt)(T1Ftf注：正弦量的有效值用大写字母表示，如电压、电流与电动势的有效值用U、I和来E表示。设正弦电流为i＝Imsin（ωt＋ψ），则其有效值为2Idt)]tsin([I21dt(t)21Im220m202i正弦量的有效值是根据电流的热效应定义的，其大小为正弦量的均方根值，若设某正弦量为f（t），则有效值为解：①由已知可知ω＝314rad/s，可得即正弦量电流i的有效值I是其幅值Im（最大值）的2122mmEEUU例2-1-2已知正弦电压为，试求①其频率和周期；②幅值和有效值；③当t＝1/600秒时的电压瞬时值。V)30314sin(2220tusT02.031414.322HzTf5002.011同理正弦电压u与正弦电动势e的有效值U、E与最大值Um、Em的关系为V3112220mU有效值为V220222202mUU③当t＝1/600秒时，电压瞬时值为V4.26960sin2220)306001314sin(2220u②幅值为2.1.3相位、初相位及相位差1.相位（相位角）：正弦量的表达式中正弦符号后面的部分。如正弦电压的表达式为V)45sin(2380tu则其相位为（314t＋450)。2.初相位（初相角）：t＝0(计时时刻）时的相位（相位角），称为正弦量的初相位，用ψ表示。V)45sin(2380tu注：相位决定正弦量在任一时间t的瞬时值，而初相位则决定正弦量的在t=0时的初始值。如其初相角为45o例2-1-3已知u=12sin(314t-300)V,i=3sin(314t+600)A。试画出这两个正弦量的波形，并求它们在t=0时的值。解：这两个正弦量的波形图如图2-1-3所示；306012V3AO图2-1-3例2-1-3中ooiiiuuu,t在t＝0时V6)30sin(12OuA12.260sin3oi如设u=Umsin(ωt+ψ1),i=Imsin(ωt+ψ2)，则与的相位差为2121)t()t(a.当0，即ψ1ψ2，说明从t=0（计时时刻）开始后，电压u比电流i的幅值（最大值）先来到，我们称u超前i，其角度为，如图2-1-4所示。,iuuit12UmIm图2-1-4O213.相位差对于两个或两个以上同频率的正弦量，它们之间的相位之差或初相位之差称为正弦量的相位差。b.当0，即ψ1ψ2，说明从t=0（计时时刻）开始后，电压u比电流i的幅值（最大值）后来到，我们称u滞后i，其角度为，如图2-1-5所示。,iuuit12UmIm图2-1-5O21b.当＝0，即ψ1＝ψ2，说明从t=0（计时时刻）开始后，电压u比电流i的幅值（最大值）同时来到，我们称u与i同相位，如图2-1-6所示。,iuuit12UmIm图2-1-6O21注意：只有同频率的正弦量（两个以上）才可以比较它们的相位，而且在正弦交流电路中，各处的信号不仅有大小的关系，还有相位的不同。比较相位的超前与滞后，可判断电路的性质，故相位差的概念是很重要的。,iuuit12UmIm图2-1-7O21b.当＝π，即ψ1－ψ2＝π，说明从t=0（计时时刻）开始后，电压u的正幅值电流与i的负幅值同时来到，我们称u与i反相位，如图2-1-7所示。解：三个正弦量的波形图如图2-1-8所示例2-1-4已知三个正弦量为u=100sin(ωt＋450)Vi1=20sin(ωt)A，i2=40sin(ωt-450)A,试画出它们的波形，求出它们之间的相位差，并比较它们的相位关系。45451=3=tuu,,iiii1212O图2-1-8例2-1-4的正弦量的波形图u的初相位为451i1的初相位为02453i2的初相位为u与i2的相位差为：90)45(45312u与i1的相位差为：45045211i1与i2的相位差为：45)45(0323由相位差及波形图可知u超前i1，其角度为1=450；u超前i2，其角度为2=900;i1超前i2，其角度为3=450。则它们之间的相位差为45451=3=tuu,,iiii1212O图2-1-8例2-1-4的正弦量的波形图2.2正弦量的相量表示法一个正弦交流量的三要素可以用波形表示出来，也可以用正弦函数表示出来。但在分析和计算复杂正弦交流电路时，利用做波形图的方法，虽然直观，但繁琐且不精确；利用正弦函数对电路进行分析和计算时，三角函数的变换更令人望而怯步。而正弦交流量的三要素也可以用另一种形式表述出来，那就是数学中的复数，在电工学中被称为相量。假如在图2-2-1的虚平面内,OA为一有向线段，其长度为Um，与实轴的夹角即辐角为ψ；它在虚轴上的投影为Uo，即线段AB长度；且此有向线段OA在虚平面内以角速度ω逆时针方向旋转。OAUmUmUo+1+jtOB图2-2-1有向线段与正弦量t1t11.有向线段：2.2.1有向线段及其复数表示则在任意时刻此有向线段在虚轴上的投影为)tsin(Um若现有一正弦量u，其幅值为Um，角速度为ω，初相位角为ψ，用三角函数表示为u＝Umsin（ωt＋ψ），则有向线段OA就具有正弦量u的三个要素，因此可以用有向线段OA表示正弦量u。OAUmUmUo+1+jtOB图2-2-1有向线段与正弦量t1t1根据数学理论，有向线段可以用复数表示，其形式为sincosmmjUUjBAOBOA代数式复数的辐角22BAOBUm2.有向线段的复数表示AOB+1+jUm其中OB=Umcosψ实部BA=Umsinψ虚部复数的模OBBAarctgjmeUOA指数式mUOA极坐标式注意：在复数的运算中，加、减法运算可使用复数的代数形式，而乘、除法可使用其指数形式。复数还可以用下面的形式表示，即为AOB+1+jUm例2-2-1在虚平面内做出下列有向线段，并变成指数式和极坐标式。①OA＝2+j2;②OB＝6-j8;③OC＝－4-j3。解：虚平面内的各有向线段如图2-2-2所示。OABC+1+j图2-2-2虚平面内的有向线段4522222222452222jjarctgeejOA5310108686)53)6822jjarctgeejOB1435217555)3()4(34217)37180()43(22jjarctgjeeejOC