清华大学微积分课件(全)x67

2020/3/31作业P181习题54.5.P187习题63(1).5(1).复习P142—1862020/3/32第二十一讲一、Stokes公式二、环流量与旋度三、保守场、无源场、调和场2020/3/33则有有向曲线为分段光滑其边界的分片光滑有向曲面内是区域上的连续可微向量场是区域设,,,),,(),,(),,(SSkzyxZjzyxYizyxXv一、斯托克斯公式(Stokes)SLdxdzxZzXdzdyzYyZZdzYdyXdx^)(^)(dydxyXxY^)(SSdSnvldv或2020/3/34确性验证斯托克斯公式的正从而曲线积分应用三种方法计算下列例,]1`[.,ABCA方向为的三角形的边界为顶点是以其中)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(CBALozyxACBLLydzxdyzdx[解](1)应用斯托克斯公式SABC所在平面为取三角形1:zyxS其单位法线向量为kjin313131n2020/3/35到于是由斯托克斯公式得SLdxdzxyzzdzdyzxyyydzxdyzdx^)(^)(dydxyzxx^)(Sdydxdxdzdzdy^^^SdS)313131(SdS3232020/3/36(2)化为定积分计算)10(0,,1:yzyyyxAB)10(,1,0:zzzzyxBC)10(1,0,:xxzyxxCAozyxACBLnCABCABLydzxdyzdxAB323)1(310dyy2020/3/37(3)化为平面曲线的二型曲线积分LLdydxyxdydxyxydzxdyzdx)()1(上的投影曲线面在为xoyLLdyyxdxyxL)()21(xyDd)21(23ozyxACBLn2020/3/38利用斯托克斯公式计算例]2[LyzdzxydydxzI2.,,22222下侧组成右手系其方向与上半球面的的交线与柱面为上半球面其中ayyxyxazLozyxn[解]柱面截下的部分为上半球面被取S222:yxazSL2020/3/39SdSyzz)coscos2cos(由斯托克斯公式得到Sdyydxdxzdzdzzdy^^2^22222211cos1cos,1cosyxyxyyxxzzzzzzzzLyzdzxydydxzI22020/3/310ozyxnLxyDdxdyzzdSyx221故xyDyxdxdyyzzzzI)]1(2[,222yxaxzx222yxayzyxyDyxaxyxaI222222[2222222yxayyxadxdyy]2020/3/311xyDdxdyyxI)3(sin00)sin3cos(ardrrrddrasin0033)sin3(cos)sinsincos31(00433dda)sin20(2043da383aozyxnLxyD2020/3/312为法向量，作平面以过点为单位向量为空间一定点设nMnM,,,nMrL的环流量与旋度二、向量场Lldv的环流量沿曲线称为向量场Lv第二型曲线积分2rrldvL圆盘上的平均环量为20limrldvrLr环量面密度2020/3/313kzyxZjzyxYizyxXv),,(),,(),,(应用stokes公式得到是连续可微向量场nvrldvrLr20lim有关的量向环量面密度是一个与方n的方向环量面密度最大沿着vn2020/3/314)(向量场的旋度定义：设有向量场.,,面密度的最大值其模等于环量方向环量面密度取最大值的其方向是使处的旋度是一个向量它在点MkzyxZjzyxYizyxXv),,(),,(),,(vvrot记作nvrotrldvrLr)(lim20环量面密度.,0为无旋场称时当vvrot2020/3/315.,.][的旋度求线速度场每一点具有线速度刚体上轴旋转绕刚体以角速度例vvzk][解处的向径为设刚体上点),,(zyxMkzjyixr点的线速度为Mjxiyzyxkjirv000xyzyxkjivrot2.,角速度的两倍等于刚体旋转速度场的旋度2020/3/316)(保守场定义：.,,,保守场上的是则称向量场而与路径无关有关的起点、终点只与如果曲线积分上的连续向量场是若vLldvkZjYiXvL)(无源场定义：.,0上为无源场在区域则称向量场处处有上在区域若向量场vvdivkZjYiXv三、保守场、无源场、调和场2020/3/317..]1[所在的点不是电荷设点的散度在点的电场强度求点电荷例QMMEQ][解则位于坐标原点设点电荷,Q为电场强度ErrQkrrQkE302kzjyixr222zyxr)(3rrQkEEdiv)1(3rrkQ2020/3/3183rrrrr4331)11(33rrrrkQEdiv)33(53rrrrkQ)33(523rrrkQ0)33(33rrkQ)11(33rrrrkQEdiv)0(r2020/3/319在没有电荷的点,电场强度的散度总是等于0.没有电荷的点,既不发散电力线,又不汇集电力线,只是经过电力线.点电荷的电场除去电荷所在的点就是无源场.2020/3/320可知及高斯公式由,0vdiv0通量都等于外侧的经过场内任意闭曲面向向量场v0321SSSSdF03SSdF21SSSdFSdF1S3S2S无源场经过向量管任意断面的通量相等2020/3/321.,,)(:是调和场则称又是无源场既是保守场如果向量场调和场定义vvuv0)(u调和场的势函数满足下列方程0222222zuyuxu即拉普拉斯方程222222zyx拉普拉斯算子0u2020/3/322则下列命题等价：上的连续向量场是中的区域是设定理,),,(),,(),,(.:13kzyxZjzyxYizyxXvR有内任意一条封闭曲线对,)2(L0Lldv;)1(上的保守场是v.)3(上的有势场是v.),,,(vfzyxf使得即存在可微函数2020/3/323则下列命题等价上的连续可微向量场是单连通域曲面中的是设定理.),,(),,(),,(.)(:23DkzyxZjzyxYizyxXvR;)1(上的保守场是v.)2(上的无旋场是v)),,((0zyxvrot即2020/3/324SLL为边界的曲面内，以含在都能“绷上”一个包任意封闭曲线：（曲面）单连通域,曲面单连域2020/3/325证明偏导数的区域上具有二阶连续在包含闭区域和设函数例,),,(),,(]2[zyxvzyxudVvudSnvudVvuS.),,(,外法线方向的方向导数沿为函数的边界曲面为区域其中SzyxvnvS[证]利用高斯公式dVzZyYxX)(SdSZYX)coscoscos(2020/3/326zvuZyvuYxvuX,,取代入高斯公式,得到)([222222zvyvxvudVzvzuyvyuxvxu]SdSzvyvxvu)coscoscos(SdSnvudVvudVvu即移项便得证！