第3章 随机过程的谱分析1.2.3

第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析第三章平稳随机过程的谱分析第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析3.1随机过程的谱分析3.2平稳随机过程功率谱密度的性质3.3功率谱密度与自相关函数之间的关系3.4离散时间随机过程的功率谱密度3.5联合平稳随机过程的互谱密度3.6白噪声第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析本章要解决的问题随机信号是否也可以应用频域分析方法?傅里叶变换能否应用于随机信号？相关函数与功率谱的关系功率谱的应用采样定理白噪声的定义第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析3.1随机过程的谱分析3.1.1简单回顾3.1.2随机过程的功率谱密度3.1.3功率谱密度与复频率面第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析3.1.1简单回顾1付氏变换设非随机信号x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t)满足•在范围内满足狄利赫利条件)(tx),(•绝对可积，即)(txdttx)(•信号的总能量有限，即)(txdttx2)(有限个极值有限个断点断点为有限值（3.1.1）（3.1.2）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析则的傅里叶变换存在，即)(txdtetxXtjX)()(称为的反变换，即deXtxtjX)(21)(称为的频谱密度，也简称为频谱。)(XX包含：振幅谱相位谱)(tx)(tx)(XX（3.1.3）（3.1.4）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析2帕塞瓦尔等式dtdeXtxdttxtjX)(21)()]([2dtdetxXtjX)()(21dXXXX)()(21*dXX2)(21dXdttxX22)(21)]([即能量谱密度（3.1.5）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析)(tx随机过程由于持续期为无限长，所以它的傅里叶变换不存在。但是，样本的功率却是有限的，即有TTTdttxTQ2)(21lim3.1.2随机过程的功率谱密度因此，研究随机过程的功率谱是有意义的。（3.1.6）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析截取函数TtTttxtxT0)()(（3.1.7）图3.1及其截取函数)(tx第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析当T为有限值时，的傅里叶变换存在)(txTdtetxTXtjTX)(),(TTtjdtetx)(（3.1.8）deTXtxtjXT),(21)(（3.1.9）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析dTXdttxXTT22),(21)(也应满足帕赛瓦等式，即)(tx用2T除上式等号的两端，可以得到dTXTdttxTXTT22),(41)(21对上式两端取集合平均，可得dTXTEdttxTEXTT22),(41)(21（3.1.10）（3.1.11）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析令，取极限，交换求数学期望和积分的次序，可得TdTTXEdttXETXTTTT2]),([lim21)]([21lim22功率Q)(XS非负存在dSdttXETQXTTT)(21)]([21lim2（3.1.12）（3.1.13）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析两个结论：)]([2tXEAQ1.21lim.TAT表示时间平均若过程为广义平稳平稳)0()]([)]([22XRtXEtXEAQ＝dSQX)(212式中（3.1.14）（3.1.15）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析注意：（1）Q为确定性值，不是随机变量)(XS（2）为确定性实函数。对于平稳随机过程，则有dStXEX)(21)]([2（3.1.16）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析功率谱密度：描述了随机过程X(t)的功率在各个不同频率上的分布——称为随机过程X(t)的功率谱密度。)(XS)(XS对在X(t)的整个频率范围内积分，便可得到X(t)的功率。)(XS第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析例：设随机过程，其中皆是实常数，是服从上均匀分布的随机变量，求随机过程的平均功率。)cos()(0tatX0和a），（20)(tX)](cos[)]([0222taEtXE)]}22cos(1[2{02taEdtaa)22cos(2220202220022)22sin(22taa解：taa0222sin2不是宽平稳的)(tX（3.1.17）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析)]([2tXEAQ2)2sin2(212022limadttaaTTTT（3.1.18）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析在系统分析的某些应用中，用复频率往往更为方便。一般的方法是，用复变量来代替原来的实变量。3.1.3功率谱密度和复频率面第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析js0jsjs)(sSX)(XS9104)(242XS例：910)4()(242ssssSXjs)3)(3)(1)(1()2)(2(ssssss2-23-3-11j0；（3.1.19）（3.1.20）图3.2功率谱密度的零、极点图第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析3.2平稳随机过程功率谱密度的性质3.2.1功率谱密度的性质3.2.2谱分解定理第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析3.2.1功率谱密度的性质1.功率谱密度为非负的,即0)(XS证明：TTXESXTX2]),([lim)(20),(2TXX0)(XS2.功率谱密度是的实函数（3.2.1）因为是的实函数，故亦必为的实函数。2),(TXX)(XS第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析3对于实随机过程来说，功率谱密度是的偶函数，即)()(XXSS证明：)(txT是t的实函数时，其频谱满足**)(),(dtetxTXtjTXdtetxtjT)(dtetxtjT)()(),(TXX),(),(),(*2TXTXTXXXX),(),(TXTXXX),(),(*TXTXXX2),(TXXTTXESXTX2]),([lim)(2)()(XXSS又（3.2.2）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析4功率谱密度可积，即dSX)(证明：对于平稳随机过程，有：dStXEX)(21)]([2平稳随机过程的均方值有限dSX)(上式说明功率谱密度函数曲线下面的总面积（即随机过程的全部功率）等于过程的均方值。（3.2.3）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析3.2.2谱分解定理1.谱分解在平稳随机过程中有一大类过程，它们的功率谱密度为的有理函数。在实际中，许多随机过程的功率谱密度都满足这一条件。即使不满足，也常常可以用有理函数来逼近。这时可以表示为两个多项式之比，即)(XS)(XS第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析其中MN.若用复频率s来表示功率谱密度，那么，对于一个有理函数，总能把它表示成如下的因式分解形式：)()()()()(21212NMXbsbsasasasS02222222022222220)()(dddcccSSNNNMMMX（3.2.4）（3.2.5）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析根据上述功率谱密度的性质1~4，还可导出关于的零、极点的如下性质。)(sSX1.为实数。2.的所有虚部不为零的零点和极点都成复共轭出现。3.的所有零、极点皆为偶重的。4.在实轴上无极点。5.。2a)(sSX)(sSX)(sSXNM第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析2谱分解定理根据上面的性质，可将分解成两项之积，即：)(ｓXS)()()(sSsSsSXXX)()()()()(11NMXssssasS)()()()()(**1**1NMssssasSX其中（零极点在s上半平面）（零极点在s下半平面）*)]([)(sSsSXX22)()()(sSsSsSXXX且谱分解定理（3.2.6）（3.2.7）（3.2.8）以及（3.2.9）（3.2.10）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析将式（3.1.16）的实变量用复变量表示，可得到均方值得复平面积分式为jjXdssSjtXE)(21)]([2s（3.2.11）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析3为有理函数时的均方值求法)(XS（1）利用)(XR)0()()]([02XXXRRtXE（2）直接利用积分公式dStXEXX)(21)]([2（3）查表法（4）留数法（3.2.11）（3.2.12）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析预备知识：留数定理设为复变量s的函数，且其绕原点的简单闭曲线C反时针方向上和曲线C内部只有几个极点)(sBips则：niCdssBj1()(21内部极点的留数）曲线pssBps)]()[(pssBpsdsd)]()[(2一阶留数二阶留数（3.2.13）（3.2.14）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析jjXdssSjtXE)(21)]([2上式积分路径是沿着轴，应用留数法时，要求积分沿着一个闭合围线进行。为此，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半园积分。根据留数定理，不难得出j）左半平面内极点的留数()]([2tXE（3.2.15）（3.2.16）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析例:考虑一个广义平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度9104)(242XS)]([2tXE求过程的均方值解:用复频率的方法来求。用代入上式得用复频率s表示得功率谱密度：js＝910)4()(242ssssSX（3.2.17）)]([2tXE（3.2.18）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析)3)(1)(3)(1()2)(2()(sssssssSX在左半平面内有两个极点：-1和-3。于是可以分别计算这两个极点的留数为：)(sSX163)3)(1)(3()2)(2(11ssssssK（3.2.19）（3.2.20）第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析485)3)(1)(1()2)(2(33ssssssK247485163)]([2tXE2-23-3-11j0（3.2.21）（3.2.22）图3.3用于计算均方值的积分路径第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析3.3功率谱密度与自相关函数之间的关系第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析确定信号：)()(jXtx随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度。1.维纳—辛钦定理若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即：傅里叶变换第3章平稳随机过程的谱分析随机信号分析deRSjXX)()(deSRjXX)(21)(2.证明：TTXESXTX2]),([lim)(2)],(),([21lim*TXTXETXXTTT21lim