第3章+恒定电场

第三章恒定电场基本物理量J欧姆定律J的散度E的旋度基本方程电位边界条件边值问题一般解法特殊解（静电比拟）电导与接地电阻恒定电场的知识结构框图基本概念：•通有直流电流的导电媒质中的恒定电场与电流场•通有直流电流的导电媒质周围电介质中的静态电场3.1导电媒质中的电流•静电场研究在绝缘介质中静止电荷产生的电场，主角是E和D。（0）恒定电流场•恒定电流场研究在导体中稳恒流动的电流，即直流问题。主角是J和E。•电流会产生磁场。但当电流分布不随时间变化时，电场和磁场可以分开研究，本章只研究电场。•遵循同样的路线：基本方程－位函数－边值问题－电路参数（电阻）。I是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。3.1电流强度电流面密度矢量AdtdqI单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。本章只研究传导电流，更确切地说是导体中的恒定电流场。该电流依靠外加电源维持，但是我们不涉及电源的特性。恒定电流的形成电源的作用在于源源不断地向导体的两端提供正负电荷，以便补充被电流运走的电荷，维持导体内电场的恒定。因此导体内的电场仍然是电荷产生的；电荷在该电场的作用下定向运动形成电流。3.2恒定电场的基本物理量——电流密度电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中，它与电场强度方向一致。1.电流面密度''0''00''002(',)lim(',)limlim(',)limlimSStStirtSqrttSqrtdtSdAm000J(r',t)r'(r',t)r'(r',t)r'r'(r',t)r'v亦称电流密度分布的体电荷以速度v作匀速运动形成的电流。SJdIS电流图2.1.2电流面密度由欧姆定律dddSlEl=JdSdIdJS电流dl令两端电压为dUdUdEl欧姆定律微观形式：JE欧姆定律图2.1.3电流线密度及其通量2.电流线密度σ分布的面电荷在曲面上以速度v运动形成的电流。dlIln)(eK电流e是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量nτ分布的线电荷沿着导线以速度v运动形成的电流I=τv3、线电流''0(',)limlirtlAm0K(r',t)r'(r',t)v图2.1.6J与E之关系4.电流密度的矢量线：在一坐标系中可以用一族曲线来形象描述电流密度的分布，大小可以用稠密程度、方向可以用曲线的切线方向来确定。它们同样遵循矢量线方程。元电流是指沿电流方向上一个微元段上的电流，,,dIJdVKdSIdl,,dqdVdSvdlvvv5.元电流的概念：6焦耳热效应电流流经导体，自由电子与导体物质发生碰撞、摩擦，导体发热，叫做焦耳热效应。ddddAttflEvEJ单位体积内，电荷在电场作用下移动dl距离，电场力做功在恒定电流场中，粒子动能不变，故电场做功全部转化为热能，热功率密度为2ddApEtEJElJSUIPplSVVEJ同样考察一段长为l、横截面积为S的小导体，焦耳热功率密度为正是单位体积内消耗的功率，即功率密度。1.电荷守恒定律电荷守恒是自然界中一条非常重要的守恒定律。3.3基本方程dddSqStJ出去几个就少几个；没有出去的也就维持不增不减，守恒。dddddVVVVVVttJddtJ物理意义：穿出闭合面的电流等于单位时间内该体积中电荷的减少量。2.恒定电流场空间各点的电流密度分布不随时间而变化。也就是说由任一闭合曲面净流出的的传导电流为零，即该闭合曲面内电荷的变化为零。dd0dSqStJ导电媒质内部电荷密度为零，但导电媒质的交界面上面电荷密度不一定为零！3.E的旋度d0lEl所取积分路径不经过电源，则得0E斯托克斯定理0E0ldElfSdqDS0E1t2tEE0SdJS2n1nDDfD1n2nJJ0J0EDE0EJE2f200f4.电场基本方程与交界面连接边界条件静电场恒定电场5.恒定电流场基本方程d0lEl0EEJd0SSJ0J•本构关系•特点：在导体内部，恒定电流场无散无旋。折射定律为2121tantan电流线的折射分界面上的衔接条件nntt2121JJEE0dLlE0dSSJ6.媒质交界面边条件分界面衔接条件121212nn如果媒质1为良导体，媒质2为不良导体，即1远大于2，则21211~0~0nnnEEJ2111/~0tttEEJ材料/S·m-1材料/S·m-1银铜金铝铁6.2×1075.8×1074.1×1073.5×1071.0×107海水蒸馏水湿土干土玻璃5~32×10－410－2~10－310－510－12（1）良导体与不良导体的交界面如果媒质1为良导体，媒质2为不良导体，即1远大于2，则21211~0~0nnnEEJ10tJ111/~0ttEJ21~0nnJJ2111/~0tttEEJ媒质1为良导体中媒质2为不良导体中1.良导体表面内侧，电流法向分量很小，电流近似平行于良导体表面流动。2.良导体表面外侧，电场切向分量很小，电场近似垂至于良导体表面。3.恒定电场中，由于内部存在电场，导体不是等势体。但是对于良导体，内部电场很小，在较小的尺度范围内电位降落不大，其表面可以近似视为等位面。1122tntnEEEE（2）良导体与绝缘介质1(γ≠0)2(γ=0)导体与理想介质分界面0001222nnJJJ1导体表面是一条电流线。nnnnnEDDJE22122220111nnJE2导体与理想介质分界面上必有恒定（动态平衡下的）面电荷分布。ttEE213电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。若（理想导体），导体内部电场为零，电流分布在导体表面，导体不损耗能量。1γ→∞ynxtEEeeE222导体周围介质中的电场载流导体表面的电场（3）不良电介质分界面媒质参数：1212212121fnnJJf2n1nDD21221()fnJ21210当0f有例1一平行板电容器填充两种媒质，电导率和电容率分别为1、1和2、2，两板之间的电压为U。求媒质交界面上积聚的电荷密度。解：设媒质1、2中的电场为E1、E2，则1212222ddUEEUEEd交界面上121122nnJJEE求得21122UEd12122UEd2112212211122()fnnUDDEEd1212122UJJd122112121222UUDDdd121012021201210212()2()pnnPPDEDEUd静电场201122()xUdEe102122()xUdEe2211EE02211UdEdE12012122()UDDd0f12101202201002100121212222()()()()()pnnPPDEDEUUUddd例2设平行双输电线间距d=50cm，电压U=100V，电流I=300A，导体截面S=150mm2，求导线内部及表面场强。7108.5分析：110.035(Vm)tJEE1JE210.035(Vm)ttEE由边界条件由电轴法，沿AB)11(202rdrEn2E0rdaABnE21E两导体之间电压00lnABdUa有：211()1700(Vm)2lnnUEdaadaatnEE22结论：导体内部电流平行于导体流动；导线表面分布有不随时间变化的面电荷；(如何产生的？)导体表面外侧，电力线近似垂直于导体表面；如果不计漏电流，忽略导体中的电压降，导体外电场可以作为静电场分析。如果很大，UU，一段小的导体可以看作是等势体。102JUEllUUUUU0UJJR例3一导电弧片由二块不同电导率的薄片构成，电导率已知，电极间电压U已知，求：（1）弧片内的电位分布；（2）总电流I和弧片电阻R；（3）分界面上电荷密度。解：列边值问题022)40(012)24(1rrU20rr414242241112020在圆柱坐标系中22222211()rrrrrz导电片很薄，可忽略z方向的变化：220z由边界条件知：220故：21()0rrrr解之得：12lncrc1rrU20rr由边界条件：,确定常数c1,c2。E1=E2=J1=J2=I1=I2=I=I1+I2=R=U/I=作业：4.4,4.53.5静电比拟（1）恒定电场与静电场的相似性静电场（）恒定电流场对应量00E0EEEEE0J0DDJEJED0212nnJJ12nnDDttEE21ttEE210212121212nn1212nn基本方程电位函数衔接条件dsIJsdsqDsqIqCUIGUCG其它1.恒定电场与静电场的相似性表征两种场的方程具有相同形式；相同的数学形式揭示了相同的物理规律；两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。这种方法称为静电比拟法。2.静电比拟的条件•两种场电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）；•相应电极的电压相同；•若两种场中媒质分布片均匀，只要分界面具有相似的几何形状，且满足条件时，则这两种场在分界面处折射情况仍然一样，相拟关系仍成立。1212//图2.4.2静电场平行板造型静电比拟：右图静电场与恒定电场有完全相似的结构和形式完全相同的解答。3.静电比拟的应用•静电场便于计算——通过静电比拟计算恒定电场•恒定电场便于实验——某些静电场问题可用恒定电流场实验模拟实验模拟方法：固体模拟（媒质为固体，如平行板静电场造型）液体模拟（媒质为液体，如电解槽模拟）3.6电导与电阻1电导与电阻－恒定电流场的电路参数电阻定义为两个电极之间的电压与电流之比。电极电极是这样的一段导体，它的电导率比起场域中其它部分大得多（良导体），可以看作是一个等势体。电极通常跟电源相联，因此其电位已知，可作为求解电场的边界条件。URI2漏电导与绝缘电阻工程中，电极之间需填充不导电的材料作电绝缘，而实际中，这些材料，因此当电极间加直流电压时，总会有电流从正电极经绝缘材料流到负电极，这种电流称为漏电流，极间电压U与漏电流I之比为漏电阻（绝缘电阻）。漏电导定义为绝缘电阻的倒数。0URIIGUUEUIC－CR电路中理想模型与实际模型3电导的计算•直接用电流场计算设UIGdUIlEJEJUIGdI)(USJEJE或设•静电比拟法当恒定电场与静电场边界条件相同时，用静电比拟法，由电容计算电导。ddddddSLSSLSCQUGIUDSElESJSElES例4求同轴电缆的绝缘电阻。设内外半径分别为R1、R2，长度为l,中间媒质的电导率为，介电常数为。求绝缘电阻。解法一直接计算电流场设22IJIIJEll