《保险精算》之二--利息理论

保险精算之二王明征大连理工大学管理学院2009年11月第二章利息理论2利息的基本理论利息是借入资本需要支付的使用价值或出让资本使用权得到的报酬：◦在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用时间越长，实现的价值增值就越大。同时，由于受通货膨胀的影响，等额的货币在不同时间上的实际价值也不同。◦利息的计算与累积函数的形式、利息的计算次数、投资时期长短等有关3一、累积函数总额函数：累积函数是单位本金的累计额，以表示。其中，，。4)(ta)0()()(AtAta1)0(a)()0()(taAtA()()()()(0)().AtttIttAtAtAIt时刻的资金累积额时刻的本金和利息之和;时刻的利息.则称为总额函数。这样有累积函数a(t)通常为t的连续函数，在坐标平面上表现为通过（0，1）点的曲线，如图2-1和图2-2所示a(t)为增函数时才能保证总额函数的递增性和存在正的利息。有时，当利息定期结算时，也表现为不连续的阶梯函数，在定期内，为常数，定期结算后，上一个台阶，如图2-3所示。5a(t)01ta(t)01ta(t)01t图2-1图2-2图2-3利息率利息率1年内1单位本金的利息就是实际年利息率以表示第n个基本计息时间单位的实际利率6()(1)(1)nAnAniAnni1(1)(0)(0)AAiA单利和复利单利：只在本金上生息◦设第t年实际利率it，1年末的累积额为:◦◦第2年末的累积额为:◦当各年利率均为i时，有7()1()atit累积函数的形式)1)(0()0()0()1(11iAiAAA1212(2)(0)(1)(0)(0)(1)AAiAiAii)1)(0()(itAtA单利和复利复利：在本金和利息上生息◦设第t年实际利率it，1年末的累积额为:◦◦第2年末的累积额为:◦当各年利率均为i时，有8)1)(0()0()0()1(11iAiAAA)1)(1)(0()1)(0()1)(0()2(21211iiAiiAiAAniAnA)1)(0()(()(1)tati（累积函数的形式）单利与复利的区别：利息可以按年结算，也可以按半年、季度和月结算。在单利下，计息单位不影响利息额；在复利下，年利使率不变，但结算的时间单位不同，也会使实际利息值不同。9现值和贴现率10现值和贴现率在复利下，tti)1(111例2.1：某人1997年1月1日借款1000元，假设借款年利息率为5%，试分别以单利和复利计算：（1）如果1999年1月1日还款，需要的还款总额为多少？(2)如果1997年5月20日还款，需要的还款总额为多少？(3)借款多长时间后需要还款1200元？122(2)(0)(12)1000(125%)1100()22(2)(0)(1)1000(15%)1102.5()(2)19971391000(15%)1365AAiAAi(1)1997年1月1日到1999年1月1日为2年。在单利下，还款总额为：元；在复利下，还款总额为：元。从年1月1日到1997年5月20日为140天，计息天数为139天。在单利下，还款总额为：解：019.04()1393651000(15%)1018.75()(3)120012001000(10.05),4()12001000(10.05),3.74()ttttt元，在复利下，还款总额为：元。设借款年后需要还款元。在单利下，有进一步可得：元；在复利下，有进一步可得：元。例2.2：以10000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%，后3年的利率为6%，以单利和复利分别计算5年后的累积资金。13(5)10000(125%36%)12800()23(5)10000(15%)(16%)13139.95()AA在单利下，有元；在复利下，有元。解：现值和贴现率在单利下，14现值和贴现率贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间以年度衡量时，成为实际贴现率。◦d表示一年的贴现率:◦dn表示第n年贴现率:15iiiiaaAAAd1111)1(1)1()1()0()1()()1()()()1()(nanananAnAnAdn现值和贴现率16iiiiiaad111)1()1(1)1(iiid11111ddi1可见，di现值和贴现率17现值和贴现率181931000(10.05)857.38()0.05(2)0.053.10.952.3did计算1998年1月1日1000元在复利贴现率5%下1995年1月1日的现值及年利息率。解：(1)1995年1月日的现值为：元；年利息率为：例：2019988114000(1)(2)211400012459.95()1.06(2)1400021402.4年月日某投资资金的价值为元，计算在年利息率为6%时，以复利计算，这笔资金在1996年8月1日的现值。在复利贴现率为6%时，这笔资金在1996年8月1日的现值。解：(1)已知利率时，用折现系数计算值，14000元2年前的现值为：元；用贴现率计算现值，元年的现值为：例：200(10.06)12370.4()元。名义利率与名义贴现率名义利率:一年结算多次的规定的年利率。以表示，m表示结算次数，21)(mimmmii]1[1)(名义利率与名义贴现率名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率。以表示，m表示结算次数，22()mdid111mmmdd]1[1)(233%1000362898.28()2898.282.5某人以每月的利率从银行贷款元，那么在复利计息下，3年后他拖欠多少钱？解：3%是月结利率，3年后的累计欠款可以直接36个月的复利计算本息，有1000(1.03)元，故三个年后他拖欠元。例：24(1)12%(2)12()12%111112.68%,1212.68%.4()10%(2)111142.6mmiimmmddm求每月结算的年利率为的实际利率。求每季结算的年贴现率为10%的实际贴现率。(3)求相当于每月结算的年利率为12%的半年结算的贴现率。解：(1)实际利率为：故实际利率为实际贴现率为：例：9.63%,9.63%()()1(3)(1)1,11,212()12%11,122612%(2)21111.59%.12mnmnididmnndd故实际贴现率为。由有代入相应的数值可得这样得到254000416%2116%4374000(14%)5263.73()2.7某人从银行借款元，这笔借款的利息每年结算次，年利率为。那么他在借款个月欠银行的款为多少？解：年利率为，每年结算次，也就是每个月结算一次,每次结算的利息率为4%（16%/4=4%），21个月共结算7次(21/3=7)。这样，4000元本金在结算7次后的本利和为：元。例：利息力利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。定义利息力δ为，)1ln(11)1(lim]1]1[limlim11)(imiimimmmmmm26ie1故，e27(1)2003722(2)(12)(3)5(1),400020037224000(1)(2.20)150.74000(1)40002.8iiiieiie某人在1998年7月22日贷款4000元，如果利息力是14%，在复利下，试求解以下问题：贷款额在年月日的价值。年利率。名义利率。解：如果已知年利率元贷款额在年月日的值。由公式，利息力与利率有如下关系：，从而例：8055.01()0.140.14(2)1,10.1502712(12)0.14(3)(2.14)11,12(12)014/1212(1)0.14082ieieiaieie元。由得年利率为：。由式和(2.20)式，有这样有12345678283000020000X500003000032000072.9X某人以每半年结算一次的年利率6%借款50000元，两年后他还了元，又过了年再还了元，求年后的欠款额为多少？解：设他在7年后的欠款额为，有例：14104500001.03300001.03200001.0312801()X元•利息问题实践：29199512.10某人在年月1日存入银行8000元，两年后又存入6000元，2001年1月1日取出12000元。如果利率为5%，计算2004年1月1日其账户上的余额。解：依题意，可以画出下面的收支图：例：6000X-120001995199720012004800097380001.0560001.05120001.056961.73()X元301996114000200011600020031150007%2002112.11某人在年月日存款元，在年月日存款元，年月日存款元。如果年利率为，计算在年月日账户中的存款总额。解：依题意，可以画出下面的收支图：例：40006000X5000199620002002200362140001.0760001.0750001.0717545.22()X元3119951120001998113000某人年月日在其银行账户上存款元，年月日存款元，如果之后没有存取款项，2000年1月1日的账户余额为7100元，计算实际利率。解：依题意，可以画出下面的收支图：例2.12：20006000X2000199819957100522000(1)3000(1)7100,52()2000(1)3000(1)7100.()(0.111)11.710,1()(0.112)10.220.211.71()00.1110.0010.11153.10.22(11.71)iifiiififfiffii令利用计算机模拟可以得到结果，也可以利用线性插值得到结果，这样有由可知：年金年金：是收付款的一种方式，每隔一个相等的时间间隔的一系列固定数额的收付款方式。例如：购房时的按揭付款方式；退休购买养老金◦期首付年金◦期末付年金32期首付年金现值331321nna11n=dn1=期末付年金现值34nna321)1(n=in1=期首付年金终值(1)(1)1nnnnsaiid35对于n年定期、每年1元、期首付的年金在n年末的终值为：期末付年金终值36nnnias)1(nnii)1(1iin1)1(对于n年定期、每年1元、期末付的年金在n年末的终值为：等额确定年金的终值和现值37n年定期的每年1单位元期首付年金、期末付年金的现值和终值间关系图一年多次收付的年金对于n年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金现值，以表示，38()1/2/(1)(1)/1/()11111111mmmnmmnnmnmammmmmd｜)(mna一年多次收付的年金39对于n年定期，每年收付m次，每次1/m元的期末付年金现值以表示，)(mna()1/2/()1111mmmnnnmammmi一年多次收付的年金40对于n年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金在n年末的终值为，()()1nmmnsd一年多次收付的年金41对于n年定期，每年收付m次，每次1/m元的期末付年金在n年末的终值为，()()1nmmnsi42202.1