线性代数 第4章 线性方程组

1第4章线性方程组线性方程组是线性代数研究的主要对象之一.在这一章里，我们首先介绍线性方程组的高斯消元法，由浅入深地讨论一般线性方程组解的存在性，最后讨论解的结构和求解方法.2第4章线性方程组第0节线性方程组第1节齐次线性方程组解的结构第2节非齐次线性方程组解的结构3第0节线性方程组的概念定义n个变量m个方程的线性方程组称作n元线性方程组,形如mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2112222212111212111其中xj为变量，aij为第i个方程变量xj的系数，bi为第i个方程的常数项,这里i=1，2，…m;j=1，2，…，n）.4当常数项bi不全为0时,称该方程组为非齐次线性方程组;当常数项bi全为零时,称之为齐次线性方程组,也称作非齐次线性方程组的导出组.称满足以上方程组的一个有序数组为方程组的一个解,一般记作nnkxkxkx,,,2211列向量(列矩阵)形式为Tnkkk,,,,215说明当线性方程组有无穷多解时,其全部解的集合称为方程组的通解或一般解.当线性方程组有解时,称方程组是相容的,否则便是不相容的.“解方程组”,就是判断线性方程组是否有解,在有解时求得满足方程组的惟一解或全部的解(通解)的过程.“解线性方程组”常用方法为高斯消元法.消元过程中需要反复应用线性方程组的初等变换.6定义以下三种变换统称为线性方程组的初等变换(以Lj,Lj表示第i或第j个方程)：(1)交换两个方程，记作jiLL0kkLi0kkLLji,(2)第i个方程乘以非零常数k，记作(3)以非零常数k乘以方程加到方程，记作7说明如果线性方程组（Ⅰ）经过一次初等变换化为线性方程组（Ⅱ），则称方程组（Ⅰ）、（Ⅱ）是同解方程组，也称方程组（Ⅰ）与方程组（Ⅱ）等价.线性方程组等价，满足自反性，对称性和传递性.线性方程组经过有限次初等变换后所得方程组与原方程组等价.经过初等变换后,如果方程组中包括这样的方程：当b0时，方程L没有解，因此方程组没有解;如果b=0，则任一n维向量均满足L，所以运算中可以将方程L从方程组中删除，所得方程组仍与原方程组等价.bxxxLn000:218三角形方程组和梯形方程组定义说明称形如以下的方程组为三角形方程组，nnnnnnnnbxabxaxabxaxaxa2222211212111nkakk,2,1,0其中(1)三角形方程组的特点是方程组中方程个数与变量个数相等，且akkxk为第k个方程的非零首项.(2)三角形方程组的解法:由最后一个方程开始逐步回代求出方程组各个变量的值，从而得出方程组的解;(3)利用克莱姆法则可以判定，其解惟一.9定义称以下形式的方程组为梯形线性方程组说明(1)梯形线性方程组中方程个数m小于等于变量个数n.(2)当r=m=n时上式即为三角形线性方程组.(3)梯形线性方程组中不是首项非零元的变量都是自由变量.(4)自由变量仅应用于梯形线性方程组.例确定线性方程组的自由变量.nrbxaxabxaxabxaxaxarnrnrrrnnnn,2222211212111.,,,,rkakk210其中236817525454354321xxxxxxxxxx方程组中首项非零元是431,,xxx52,xx自由变量是10定理梯形线性方程组(*)当r=n时有惟一解，当rn时，对nr个自由变量每赋一组值，便确定方程组的一个解.依据上述定理，当rn时，我们可以很容易地求出梯形线性方程组参数形式的通解.例1求线性方程组的通解(*),nrbxaxabxaxabxaxaxarnrnrrrnnnn2222211212111245234434321xxxxxx这个梯形方程组首项非零元是x1,x3，则x2,x4为自由变量，解得434214210411xxxxx11在这个同解方程组中，令即为该线性方程组参数形式的通解，这里c1,c2为参数.Rcccxcx212412,,.2423122114210411cxcxcxccx得434214210411xxxxx高斯消元法是将一般线性方程组化为三角形线性方程组或梯形线性方程组的形式或是确定线性方程组无解的一种方法.12例2用高斯消元法解线性方程组解首先用高斯消元法将方程组化简，这是一个梯形方程组，z为自由变量，令z=c，回代解得方程组参数形式通解713834852132321zyxzyxzyxLLL131232321713834852132LLLLzyxzyxzyxLLL44222132654zyzyzyxLLL22132562zyzyxLLRcczcycx,22313定理任一线性方程组必满足以下三项中之一项：（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷组解.实际上，用高斯消元法可将方程组化为梯形方程组,即可判断出无解的情形；当方程有解时，如果化简后的方程组中没有自由变量（为三角形方程组），则方程组有惟一解，若方程组中有自由变量（一般为梯形方程组），则方程组有无穷解.注对于m个方程n个变量（m＜n）的方程组，不可能取得惟一解，这是因为当m＜n时，化简后不可能得到三角形方程组，只能化成梯形方程组，因此结果或是无解，或是具有自由变量而有无穷多组解.14矩阵形式的线性方程组(Ax=b)已知线性方程组:称为线性方程组的增广阵mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111mnmmnnnmijaaaaaaaaaaA212222111211)(nxxx21x=mbbb21b=系数阵未知量阵常数阵mmnmmnnbbbaaaaaaaaa2121222211121115矩阵运算与解线性方程组对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方程组进行初等变换是相互对应的，因此当用高斯消元法来求解线性方程组时可以应用矩阵的初等变换进行.例30721424643321321321xxxxxxxxx解三元线性方程组0724643142072142464332132132132132132121xxxxxxxxxxxxxxxxxxrr解07214643142107211421464321rr写出方程组增广阵16131187142323232131312xxxxxxxrrrr13717181423232321712xxxxxxxr131011870142113123rrrr131071718101421271r.76737171814233232123xxxxxxrr7673007171810142123rr17254321xxx得得.76737171814233232123xxxxxxrr2100501040017673007171810142123rr观察知:线性方程组和矩阵的初等变换一一对应.故解线性方程组可以利用其增广阵进行.18例4225332232432143214321xxxxxxxxxxxx组的通解：求下面非齐次线性方程:形行变换直至化为行最简解：对增广矩阵做初等11100111003121122111533223121113122rrrrbA]|[01100001100301100000111003121121232rrrr194342143421131113xxxxxxxxxx即，得通解：，令2412cxcx214213212211242312211100101010311131ccxccxccxccxcxcxcxccx:即).(:为任意常数、写作向量式即21214321110300110101ccccxxxx：方程组的同解方程组为20注从增广矩阵经初等变换化成的行阶梯形矩阵可以看出:除了元素全为零的行向量，当阶梯形矩阵的末行出现形如(0,0,,0,b),b≠0的行向量时，则方程组对应出现退化方程0=b（b0），此时方程组无解；如果阶梯形矩阵的末行没有形如(0,0,,0,b)，b≠0的行向量，则方程组必然有解.进一步可以看出，如果将系数阵A化成上三角形矩阵或单位阵，此时系数行列式|A|0时可以利用克莱姆法则求得惟一解,或直接求得该方程组惟一解；如果系数阵A化作与增广阵非零行数相等的行阶梯形矩阵，则方程组有无穷组解.21例5当a、b为何值时以下线性方程组有解？有解时求出通解.解对增广阵进行初等行变换，bxxxxaxxxxxxxxxxxx43214321432143215742272121414232660399011111330215117422711111112242321772babaArrrrrr]|[2285320000000013301111ba行变换至行最简形：此时继续化简增广矩阵时方程组有解且仅当.85ba001100000000311103200100320000000013301111行变换行变换|A234324143241311321131132xxxxxxxxxx即，得通解：，为自由未知量，令、取241343cxcxxx241321221311311cxcxccxcx.:301201100011214321ccxxxx即).(为任意常数、21cc得243.利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性说明利用矩阵的秩定义，容易判断出方程组系数阵和增广阵化为行阶梯形矩阵的秩恰为其各自非零行向量的行数；矩阵经过一系列初等变换其秩不变,系数阵A和增广阵(A|b)的秩分别等于其对应行阶梯形中非零行的行数.利用系数阵A和增广阵(A|b)的秩可以直接判定线性方程组解的情况25定理任一线性