高中数学(人教版)反常二重积分课件

一、无界区域上的二重积分二、无界函数的二重积分与反常定积分相同,二重积分亦有推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形,统称为反常二重积分.*§8反常二重积分数学分析第二十一章重积分*点击以上标题可直接前往对应内容定义1设(,)fxy为定义在无界区域D上的二元函数.若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线,(,)fxyE在曲线所围的有界区域与D的交集EDD(图21-42)上二重可积.22min(,).dxyxy若存在有限极限:xy2142图OEDD§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分无界区域上的二重积分令定义1lim(,)d,dDfxy且与的取法无关,重积分收敛,(,)dlim(,)d;(1)dDDfxyfxy否则称(,)fxy在D上的反常二重积分发散,或简(,)dDfxy发散.称§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分(,)fxy在D上的反常二则称并记定理21.17为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,22(i)inf(,)();nndxyxyn(ii)sup(,)d,nnDIfxy,nnDEDnnE其中为所围的有界区域.常二重积分(1)必定收敛,(,)d.DfxyI§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分设在无界区域D上(,)0,fxy12,,,,n满足这时反并且,E的区域记为.DED并记lim,nxd因为.nDDD因此存在n,使得(,)0,fxy由于所以有(,)d(,)d.nDDfxyfxyI另一方面，因为sup(,)d,nnDIfxy0,0,n故对任给的总有§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分证设为任何包围原点的光滑封闭曲线,它所围成使得0(,)d.nDfxyI(,)d.DfxyI再由(,)d,DIfxyI由定理21.17的证明容易看到有以下定理:0,nDD因而对于充分大的有可知反常二重积分(,)dDfxy存在,且等于I.§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分定理21.18若在无界区域D上(,)0,fxy则反常二重积分(1)收敛的充要条件是：上(,)fxy可积，且积分值有上界.例1证明反常二重积分22()edxyD收敛,[0,)[0,).D部分.证设是以原点为圆心R为半径的圆在第一象限RD§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分在D的任何有界子区域其中D为第一象限部分,即22()e0,xy所以二重积分因为22()edRxyD的值随着R的增大而增大.22()edRxyD所以22()limedRxyRD显然对D的任何有界子区域,D总存在足够大的R,§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分使得,RDD于是22()edxyD又因22200πded(1e),4RrRrr2lim(1e).44RR22()edRxyDπ.220ed.x的值为此,考察[0,][0,]aSaa上的积分22()ed.axyS因为22()edaxyS2200ededaaxyxy220ed,axx§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分因此由定理21.17,反常二重积分22()edxyD收敛，并且由定理21.16有22()πed.(2)4xyD由(2)式还可推出在概率论中经常用到的反常积分22()edaxyD220(ed)axx令a,则得220limedaxax故得20ed.2xx§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分2aaaDSD而(图21-43),xy2143图Oa2aaDaS2aD所以22()edaxyS222()ed.axyD22()ed,4xyD下面的例子是应用反常二重积分补证第十九章中有例2证明:若0,0,pq则()()(,).()pqpqpq2,xud2d,xuu证对于函数,令则于是212100()ed2ed.pxpupxxuu从而22212100()()4ededpxqypqxxyy关函数与函数的联系公式.§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分22212100lim4eded.RRpxqyRxxyy令[0,][0,],RDRR由二重积分化为累次积分的计算公式,222121()edRpqxyDxy所以222121()()()lim4edRpqxyRDpqxy§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分222121()4ed,(4)pqxyDxy式右边的反常二重积分,记这里为平面上第一象限.D222(,)|,0,0.rDxyxyrxy有22212100eded.RRpxqyxxyy和例1一样,下面讨论(4)于是有222121()()()4ed,pqxyDpqxy222121()lim4ed.rpqxyrDxy§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分对上式积分应用极坐标变换，22()22121200()()lim4d(cos)(sin)ed.rpqpqrrpqrrr221212()1200lim2(cos)(sin)d2edrpqpqrrrr2121202(cos)(sin)d().pqpq再由第十九章§3的(10)式就得到()()(,)().pqpqpq则得定理21.19(,)fxyD设在无界区域的任何有界子区域上证(只证充分性)设|(,)|dDfxy收敛于M.作辅|(,)|(,)(,),2fxyfxyfxy|(,)|(,)(,).2fxyfxyfxy可积.要条件是:助函数:§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分|(,)|dDfxy收敛.反常二重积分收敛的充则反常二重积分(,)dDfxy显然有0(,)|(,)|,0(,)|(,)|,fxyfxyfxyfxy因而任给有界区域,D恒有(,)d|(,)|d,fxyfxyM(,)d|(,)|d.fxyfxyM(,)fxy(,)fxy所以与在D上的反常二重积分都收敛.(,)(,)(,),fxyfxyfxy§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分所以(,)fxy在D上的反常二重积分也收敛.又因关于必要性的证明,有兴趣的读者可参阅菲赫金哥尔茨著的微积分学教程第三卷第一分册.注对于反常定积分,绝对收敛的反常积分一定收敛,反之不然.分一定收敛,反之亦然.为直线上的点是有序的,而在平面上的点是无序的.§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分而在反常二重积分中,绝对收敛的反常积出现这种区别的原因,是因定理21.20(柯西判别法)22.rxy(i)若当r足够大时,|(,)|(),pcfxycr为正常数2p(,)dDfxy则当时,反常二重积分收敛；(,)fxy|(,)|,pcfxyr(ii)若在D上满足其中D包含有以原点为顶点的无限扇形区域,反常二重积分(,)dDfxy发散.§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分(,)fxy设在无界区域D的任何有界子区域上可积,D中的点(,)xy到原点的距离为2p则当时定义2设P为有界区域D的一个聚点，(,)fxy在D上除(,)fxyD在上可积,0 lim(,)ddDfxy若极限存在且有限,并与的取法无关,§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分无界函数的二重积分点外皆有定义,且在的任何空心邻域内无界,PP为D中任何含有P的小区域，的直径.又设d表示上的反常二重积分收敛,0(,)dlim(,)d;dDDfxyfxy(,)fxy在D则称记作(,)dDfxy否则称反常积分发散.与无界区域上的反常重积分一样，常重积分也可建立相应的收敛性定理.也与定理21.20类同,请读者自证.§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分对无界函数的反其证明方法定理21.21(柯西判别法)定义,则下面两个结论成立:(i)若在点P的附近有(,),cfxyr其中c为常数，2200()(),rxxyy则当2(,)dDfxy时,反常二重积分收敛;§8反常二重积分无界区域上的二重积分无界函数的二重积分设在有界区域D上除点00(,)Pxy外处处有(,)fxyP是它的瑕点,点(,),cfxyr且D含有以点P为顶点的角形区域,反常二重积分(,)dDfxy发散.(ii)若在点P的附近有2时,则当总结反常定积分与反常二重积分有哪些相同与不同之处.