不等式4：基本不等式

不等式4:基本不等式考点：基本不等式1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b同号)；(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)；(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．基本方法：(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．例1.在下列各函数中，最小值等于2的函数是()A．y＝x＋1xB．y＝cosx＋1cosx(0xπ2)C．y＝x2＋4x2＋3D．y＝ex＋4ex－2【解析】由一正二定三相等得，y＝ex＋4ex－2≥2ex·4ex－2＝2，当ex＝2时取“＝”．例2.若a、b∈R，且ab0，则下列不等式中恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD.ba＋ab≥2【解析】由基本不等式的条件“一正二定三相等”求最值，易知只有D全满足．考点：利用基本不等式求最值问题基本方法：已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24.(简记：和定积最大)3.运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b22；a＋b2≥ab(a，b＞0)逆用就是ab≤a＋b22(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．4.(1)a2＋b22≥a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；(2)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．例1.(1)设0x2，求函数y＝3x8－3x的最大值；(2)求3a－4＋a的取值范围；(3)已知x0，y0，且x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．【分析】(1)属“积大”问题，可直接应用基本不等式；(2)属“和小”问题，要分拆，使积一定，即3a－4＋a＝3a－4＋(a－4)＋4.(3)注意逆代．因为1＝x＋y，所以8x＋2y＝(8x＋2y)(x＋y)．【解析】(1)因为0x2，所以03x6,8－3x20，所以y＝3x8－3x≤3x＋8－3x2＝82＝4.当且仅当3x＝8－3x，即x＝43时，取等号．所以当x＝43时，y＝3x8－3x的最大值是4.(2)显然a≠4.当a4时，a－40，所以3a－4＋a＝3a－4＋(a－4)＋4≥23a－4×a－4＋4＝23＋4，当且仅当3a－4＝a－4，即a＝4＋3时取等号．当a4时，a－40.所以3a－4＋a＝3a－4＋(a－4)＋4＝－[34－a＋(4－a)]＋4≤－234－a×4－a＋4＝－23＋4.当且仅当34－a＝4－a，即a＝4－3时，取等号．所以3a－4＋a的取值范围是(－∞，－23＋4]∪[23＋4，＋∞)．(3)因为x0，y0，且x＋y＝1，所以8x＋2y＝(8x＋2y)(x＋y)＝10＋8yx＋2xy≥10＋28yx·2xy＝18.当且仅当8yx＝2xy，即x＝2y时等号成立．所以，当x＝23，y＝13时，8x＋2y有最小值18.例2；【和定积最大】若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()．A.12B．1C．2D．4解析∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.答案A例3.【和定积最大】若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()．A．1＋2B．1＋3C．3D．4解析当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2x－2×1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.答案C例3.【拆、凑、代换、平方】(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；[审题视点]第(1)问把1x＋1y中的“1”代换为“2x＋y”，展开后利用基本不等式；解析∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，∴1x＋1y＝2x＋yx＋2x＋yy＝3＋yx＋2xy≥3＋22.当且仅当yx＝2xy时，取等号．例4.【同上】若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．解析：由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴2y＋8x＝1，∴x＋y＝(x＋y)8x＋2y＝10＋8yx＋2xy＝10＋24yx＋xy≥10＋2×2×4yx·xy＝18，当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.例5.【同上】尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求1a＋2b的最小值．∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴1a＋2b＝1a＋2b(a＋b)＝1＋2＋ba＋2ab≥3＋2ba·2ab＝3＋22.当且仅当a＋b＝1，ba＝2ab，即a＝2－1，b＝2－2时，1a＋2b的最小值为3＋22.例6.当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．∵x＞0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．答案(1)3＋22(2)1例7.设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1aa－b的最小值是()．A．1B．2C．3D．4[尝试解答]a2＋1ab＋1aa－b＝a2－ab＋ab＋1ab＋1aa－b＝a(a－b)＋1aa－b＋ab＋1ab≥2aa－b·1aa－b＋2ab·1ab＝2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝1aa－b且ab＝1ab，即a＝2b时，等号成立．答案D