【非常学案】2014-2015学年高中数学 2.3.1 第1课时 等比数列课件 新人教B版必修5

教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课堂互动探究课后知能检测教师备课资源2.3等比数列2．3.1等比数列第1课时等比数列●三维目标1．知识与技能形成并掌握等比数列的概念，理解等比数列的通项公式．2.过程与方法培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法．3.情感、态度与价值观让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣．●重点难点重点：等比数列的概念．难点：等比数列通项公式的推导过程及应用．课标解读1.理解等比数列的定义．(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)等比数列的定义【问题导思】观察下面几个数列：①1,2,4,8,16，…；②1，12，14，18，116，…③1，－1,1，－1,1，…；④12，－1,2，－4,8，…1．上面几组数列是等差数列吗？为什么？【提示】都不是等差数列，因为不符合等差数列的定义．2．如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？【提示】从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数．如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比都等于，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母表示．第2项同一个常数公比q等比中项【问题导思】观察上面的4个数列，每个数列中任意连续三项间有何关系？【提示】中间一项的平方等于它前一项与后一项之积．如果在x与y中间插入一个数G，使x，G，y成，那么G叫做x，y的等比中项，这三个数满足关系式.等比数列G2＝xy等比数列的通项公式【问题导思】若数列{an}为等比数列、公比为q，则a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3……由此你可以得出什么结论呢？【提示】an＝a1qn－1.等比数列的递推公式与通项公式已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则(1)递推公式：anan－1＝q(n≥2)；(2)通项公式：an＝.a1qn－1等比数列的通项公式及运算在等比数列{an}中，(1)若a2＝4，a5＝－12，求an；(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.【思路探究】(1)由a2＝4，a5＝－12能否建立a1，q的方程组求出a1，q？能否写出通项公式an?(2)由已知条件能否求a1，q？怎样求？怎样求n?【自主解答】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，(1)由题：a2＝a1q＝4，a5＝a1q4＝－12，∴q＝－12，a1＝－8，∴an＝a1qn－1＝－8×－12n－1＝(－2)4－n.(2)∵a3＋a6＝(a2＋a5)q，即9＝18q，∴q＝12，由a1q＋a1q4＝18得a1＝32，由an＝a1qn－1＝1知n＝6.1．a1和q是等比数列的两个基本量，解决本题时，只要求出这两个基本量，其余的量便可以得出．2．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，解题时常列方程(组)来解决．在等比数列{an}中，(1)已知a3＝9，a6＝243，求a9；(2)已知a1＝98，an＝13，q＝23，求n.【解】(1)∵a3＝a1q2＝9，①a6＝a1q5＝243，②∴②①得q3＝27，∴a9＝a6q3＝243×27＝6561.(2)∵a1＝98，an＝13，q＝23，∴13＝98·23n－1，∴827＝23n－1，∴n＝4.等比数列的判断已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．【思路探究】利用定义法来证明．【自主解答】依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是bn＝123－n.而bnbn－1＝123－n124－n＝12－1＝2.(n≥2)∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.判断一个数列是等比数列的常用方法1．定义法：an＋1an＝q(常数)(n∈N*)或anan－1＝q(常数)(n≥2)⇔{an}为等比数列．2．等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2且an≠0，n∈N*⇔{an}为等比数列．3．通项法：an＝a1qn－1(其中a1、q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝n＋2nSn，n∈N＋.求证：数列Snn为等比数列．【解】Sn＋1n＋1＝Sn＋an＋1n＋1＝Sn＋n＋2nSnn＋1＝2n＋2nSnn＋1＝2×Snn，即Sn＋1n＋1Snn＝2，所以数列Snn是以1为首项，2为公比的等比数列.等比数列的实际应用某工厂2013年1月的生产总值为a万元，计划从2013年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2014年8月底该厂的生产总值为多少万元？【思路探究】(1)该问题可以转化为等比数列模型吗？(2)a1，q分别是多少？要求哪一个量？【自主解答】设从2013年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，∴an＋1an＝1＋m%.则数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．∴an＝a(1＋m%)n－1.故2014年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19万元．利用数列解决实际问题的关键是建立恰当的数学模型，本例的数学模型是每月的生产总值组成一个等比数列，2014年8月底的生产总值是该数列中的第n项，常常容易被搞错．在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80台，并且从第一轮起，以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机，到第5轮可以感染多少万台计算机？【解】每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为a1＝80，公比为q＝20的等比数列．则a5＝a1q4＝80×204＝1280×104＝1280(万台)．答：到第5轮可以感染到1280万台计算机.求解等比中项中的误区等比数列{an}(an＞0)满足a1－a5＝90，a2－a4＝36，求a5，a7的等比中项．【错解】设等比数列公比为q，首项为a1由题意知a1－a1q4＝90，a1q－a1q3＝36，解之得a1＝96，q＝12，或a1＝－6，q＝2，(舍)∴a6＝a1q5＝3，∴a5，a7的等比中项为3.【错因分析】误认为a5，a7的等比中项为a6.【防范措施】要明确同号两数的等比中项G有两个且互为相反数，若G为a，b的等比中项，则G＝±ab.【正解】设该等比数列的公比为q，首项为a1，因a1－a5＝90，a2－a4＝36得：a1－a1q4＝90，a1q－a1q3＝36，解得a1＝96，q＝12，或a1＝－6，q＝2.(舍)令G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝a21q10＝962×1210＝9，所以a5，a7的等比中项是±3.1．要注意利用等比数列的定义解题，在很多时候紧扣定义是解决问题的关键．2．注意基本量法：在用等比数列通项公式时，以首项a1，公比q为基本量，其他量用这两个量表示出来，再寻求条件与结论的联系，往往使很多问题更容易解决．3．等比中项在题目中会经常出现，因此要掌握好.1．下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b2＝ac，则a，b，c成等比数列；③2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列；④公比q＞1，则数列为递增数列．正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确，②中只有a，b，c都不为0才正确，④也需要看首项是正还是负，∴只有③正确．【答案】B2．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于()A．9B．3C．－3D．－9【解析】a1＝a2－3，a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，由于a1，a3，a4成等比数列，则a23＝a1a4，所以(a2＋3)2＝(a2－3)(a2＋6)，解得a2＝－9.【答案】D3．(2013·临沂高二检测)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝()A．－12B．－2C．2D.12【解析】∵a2＝a1q＝2，①a5＝a1q4＝14，②∴②÷①得：q3＝18，∴q＝12.【答案】D4．等比数列{an}中，a3＝6，a4＝18，求a1＋a2.【解】由题意知q＝a4a3＝186＝3，∴a1q2＝6，得a1＝23，∴a2＝a1q＝23×3＝2，∴a1＋a2＝23＋2＝83.数列{an}中，a1＝2，a2＝3，且{anan＋1}是以3为公比的等比数列，记bn＝a2n－1＋a2n(n∈N*)．(1)求a3，a4，a5，a6的值；(2)求证：{bn}是等比数列．【思路探究】(1)先求anan＋1的表达式再求a3，a4，…，(2)利用定义证明．【自主解答】(1)∵{anan＋1}是公比为3的等比数列，∴anan＋1＝a1a2·3n－1＝2·3n，∴a3＝2·32a2＝6，a4＝2·33a3＝9，a5＝2·34a4＝18，a6＝2·35a5＝27.(2)∵{anan＋1}是公比为3的等比数列，∴anan＋1＝3an－1an，即an＋1＝3an－1，∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…，与a2，a4，a6，…，a2n，…，都是公比为3的等比数列．∴a2n－1＝2·3n－1，a2n＝3·3n－1，bn＝a2n－1＋a2n＝5·3n－1，∴bn＋1bn＝5·3n5·3n－1＝3.故{bn}是以5为首项，3为公比的等比数列．已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn＝3an(n∈N*)．(1)判断{an}是何种数列，并给出证明；(2)若a8＋a13＝m，求b1·b2·…·b20.【解】(1)设数列{bn}的公比为q，则q0.∵bn＝3an，∴b1＝3a1，∴bn＝3a1·qn－1＝3an.方程两边取以3为底的对数得an＝log3(3a1·qn－1)＝a1＋(n－1)log3q.∴数列{an}是以log3q为公差的等差数列．(2)∵a1＋a20＝a8＋a13＝m，∴a1＋a2＋…＋a20＝20a1＋a202＝10m.∴b1·b2·…·b20＝3a1·3a2·…·3a20＝3a1＋a2＋…＋a20＝310m.